Monotona konvergenssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Det finns flera satser som kallas monotona konvergenssatsen eller satsen om monton konvergens (SOMK).

SOMK för talföljder[redigera | redigera wikitext]

Satsen säger att om en talföljd är begränsad och monoton så konvergerar den.

För funktionsföljd[redigera | redigera wikitext]

Inom den matematiska analysen förkunnar monotona konvergenssatsen att om \mu är ett mått på en mängd X och f_n är en växande följd av funktioner som antar icke negativa värden och är integrerbara med avseende på \mu, så uppfyller funktionen

f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)

likheten

 \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n \, \mathrm{d}\mu = \int f \, \mathrm{d}\mu.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Olikheten f_n \leq f ger att

 \int f_n \, \mathrm{d} \mu \leq \int f \, \mathrm{d}\mu,

med en naturlig tolkning i det fall att f inte är integrerbar. Det följer att

 \lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu \leq \int f \, \mathrm{d}\mu.

Om  \lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu = \infty , så är utsagan i satsen uppenbarligen sann. Antag att  \lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu < \infty . Då gäller att

\int |f_m - f_n| \, \mathrm{d}\mu  = \int f_m\, \mathrm{d}\mu - \int f_n \, \mathrm{d} \mu \to 0, \quad m \geq n \to \infty .

Tag enkla funktioner g_n sådana att \int |g_n - f_n| \, \mathrm{d} \mu < 4^{-n} . Då är

\mu \{\, x: |g_n - f_n| \geq 2^{-n} \, \} < 2^{-n}.

Det följer att \int |g_n - g_m| \, \mathrm{d}\mu \to 0 när m,n \to \infty, och \lim_n g_n = f nästan överallt. Sålunda är f integrerbar och

\int f \,\mathrm{d} \mu = \lim_{n\to \infty} \int g_n \,\mathrm{d} \mu = \lim_{n \to \infty} \int f_n \,\mathrm{d} \mu.