Naturliga logaritmen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Uppslagsordet ”ln” leder hit. För Unix-kommandot, se ln (kommando).
Naturliga logaritmen
Hyperbeln y = 1/x (blå kurva) och arean från x = 1 till 6 (skuggad). Denna area är lika med den naturliga logaritmen av 6.

Naturliga logaritmen är en logaritm med basen e, ett transcendent tal approximativt lika med 2,718. Den naturliga logaritmen av ett tal x skrivs ofta ln(x) och är definierad för alla strikt positiva tal.[1] Den naturliga logaritmfunktionen är en reellvärd funktion av en reell variabel:

I likhet med alla logaritmiska funktioner, mappas multiplikation till addition:

Naturliga logaritmen kan definieras med integralen

Ett tidigt omnämnande av naturlig logaritm gjordes av Nicholas Mercator i verket Logarithmotechnia 1658, men matematikläraren John Speidell hade redan 1619 sammanställt en tabell över naturliga logaritmer.[2]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Derivata och taylorserier[redigera | redigera wikitext]

Taylorpolynomen för ln(1 + x) ger noggranna approximationer endast i intervallet −1 < x ≤ 1. Notera att, för x > 1, ger taylorpolynomen av högre gradtal sämre approximationer

Den naturliga logaritmens derivata ges av

Bevis:

Låt
Låt

Detta leder till taylorserierna för ln(1 + x) kring 0 (också kända som mercatorserierna):

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd). Academic Press. sid. 9. ISBN 0-12-508347-5. https://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC  Extract of page 9
  2. ^ J J O'Connor and E F Robertson (1 september 2001). ”The number e”. The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html. Läst 2 februari 2009.