Negativ binomialfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Den negativa binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning av antalet framgångar eller antalet försök i en sekvens av oberoende och identiskt fördelade Bernoulliförsök innan ett specificerat (icke-slumpmässigt) antal misslyckanden (betecknat r ) inträffar. [1]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi kan till exempel definiera att när vi kastar en tärning och får en sexa är det en framgång, annars ett misslyckande. Sedan väljer vi r lika med 3. Vi kastar sedan tärningen upprepade gånger tills siffran 6 visas för tredje gången. I ett sådant fall är sannolikhetsfördelningen av antalet misslyckanden (annat än sexa) som uppträdde en negativ binomialfördelning.

Sannolikhetsfunktion[redigera | redigera wikitext]

Den negativa binomialfördelningen har följande sannolikhetsfunktion:

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och p, sannolikheten för ett lyckat försök. Binomialkoefficienten kan skrivas om som:

Ett annat sätt är att utnyttja den så kallade negativa binomialkoefficienten:

Naturligtvis kan vi räkna antalet försök oberoende om de är lyckade eller inte:[1]


Alternativ parametrisering[redigera | redigera wikitext]

Den negativa binomialfördelningen kan skrivas med följande sannolikhetsfunktion i stället:

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och μ, väntevärdet. Då blir

Väntevärde och varians[redigera | redigera wikitext]

Väntevärdet för antal misslyckanden är . Om vi räknar alla försök blir väntevärdet .[1]

Variansen är: .[1]

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Parametern r kan också vara vilket positivt reellt tal som helst. Då får fakulteterna ersättas med gammafunktionen. Ibland pratar man om Pascalfördelningen (efter Blaise Pascal) då r är ett heltal och om Polyafördelningen (för George Pólya) för reella r.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b c d] Rudemo, Mats; Lennart Råde (1970). Sannolikhetslära och statistik med tekniska tillämpningar: del 1. Stockholm: Biblioteksförlaget. sid. 142 

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.