Noethersk ring

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En noethersk ring är inom matematiken en speciell sorts ring, uppkallad efter Emmy Noether. En kommutativ ring med etta R kallas noethersk om varje ideal är ändligtgenererat, det vill säga att för varje ideal I finns en ändlig mängd av element i I så att varje element x i I kan skrivas som en linjärkombination av dessa element:

där elementen är element i R. Att I genereras av skrivs vanligtvis .

För okommutativa ringar ringar med etta måste man vara litet mer precis. Man får två inte helt ekvivalenta egenskaper: Ringen kan vara högernoethersk eller vänsternoethersk; se de formella definitionerna nedan.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Noetherska ringar kan definieras som ovan, att varje ideal är ändligt genererat. Ett annat, ekvivalent villkor är det växande kedjevillkoret på ideal:

En kommutativ ring med etta R är noethersk, precis om det för varje växande kedja av ideal i ringen finns ett n så att .

För icke-kommutativa ringar definierar man begreppen vänster- respektive högernoethersk ring. En ring kallas vänsternoethersk om varje vänsterideal är ändligt genererat (eller varje växande kedja av vänsterideal till slut ger ). En högernoethersk ring definieras analogt med högerideal. En ring som är vänsternoethersk är inte nödvändigtvis högernoethersk[1], och vice versa. En ring som är både vänster- och högernoethersk kallas för noethersk ring.

En kommutativ ring är noethersk, precis om den är en noethersk modul som modul över sig själv. En ring är vänster- respektive högernoethersk, om den är noethersk som vänster- respektive högermodul över sig själv.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Några ringar som är noetherska är:

Exempel på ringar som inte är noetherska:

  • Polynomringen i oändligt många variabler, över en kropp. Idealen är en växande kedja som inte slutar.
  • Ringen av alla kontinuerliga funktioner från de reella talen till de reella talen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Lam, sid. 23