Noethersk ring

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En noethersk ring är inom matematiken en speciell sorts ring, uppkallad efter Emmy Noether. En kommutativ ring med etta R kallas noethersk om varje ideal är ändligt genererat, det vill säga att för varje ideal I finns en ändlig mängd av element a_1, a_2, ..., a_n i I så att varje element x i I kan skrivas som en linjärkombination av dessa element:

x = r_1a_1 + r_2a_2 + ... + r_na_n\,

där elementen r_1, r_2, ..., r_n är element i R. Att I genereras av a_1, a_2, ..., a_n skrivs vanligtvis I = (a_1, a_2, ..., a_n).

För icke-kommutativa ringar med etta måste man vara litet mer precis. Man får två inte helt ekvivalenta egenskaper: Ringen kan vara högernoethersk eller vänsternoethersk; se de formella definitionerna nedan.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Noetherska ringar kan definieras som ovan, att varje ideal är ändligt genererat. Ett annat, ekvivalent villkor är det växande kedjevillkoret på ideal:

En kommutativ ring med etta R är noethersk, precis om det för varje växande kedja av ideal I_1 \subseteq I_2 \subseteq ... i ringen finns ett n så att I_n = I_{n+1} = ....

För icke-kommutativa ringar definierar man begreppen vänster- respektive högernoethersk ring. En ring kallas vänsternoethersk om varje vänsterideal är ändligt genererat (eller varje växande kedja av vänsterideal I_1 \subseteq I_2 \subseteq ... till slut ger I_n = I_{n+1} = ...). En högernoethersk ring definieras analogt med högerideal. En ring som är vänsternoethersk är inte nödvändigtvis högernoethersk[1], och vice versa. En ring som är både vänster- och högernoethersk kallas för noethersk ring.

En kommutativ ring är noethersk, precis om den är en noethersk modul som modul över sig själv. En ring är vänster- respektive högernoethersk, om den är noethersk som vänster- respektive högermodul över sig själv.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Några ringar som är noetherska är:

Exempel på ringar som inte är noetherska:

  • Polynomringen i oändligt många variabler, x_1, x_2, ... över en kropp. Idealen (x_1), (x_1, x_2), (x_1, x_2, x_3), ... är en växande kedja som inte slutar.
  • Ringen av alla kontinuerliga funktioner från de reella talen till de reella talen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Lam, sid. 23