Omegakonstanten

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Omegakonstanten är den matematiska konstanten

där W betecknar Lamberts W-funktion.

Karakterisering[redigera | redigera wikitext]

Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:

där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.

Irrationalitet och transcendens[redigera | redigera wikitext]

Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att

och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle eΩ och därmed även

vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω0 och sedan utföra iterationen

som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är

som konvergerar kvadratiskt.

Integraler[redigera | redigera wikitext]

En integral för omegakonstanten är

Jämförelsevis är

ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.

Källor[redigera | redigera wikitext]