Omegakonstanten

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Omegakonstanten är den matematiska konstanten

\Omega \equiv W(1) \approx 0\mathrm{,}5671432904\,

där W betecknar Lamberts W-funktion.

Karakterisering[redigera | redigera wikitext]

Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:

  • \Omega e^\Omega = 1\,
  • e^{-\Omega} = \Omega\,
  • \ln(1/\Omega) = \Omega.\,

där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.

Irrationalitet och transcendens[redigera | redigera wikitext]

Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att

e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle eΩ och därmed även

\frac{1}{e^\Omega} = \Omega,

vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω0 och sedan utföra iterationen

\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}

som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är

\Omega_{n+1} = \frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}},

som konvergerar kvadratiskt.

Integraler[redigera | redigera wikitext]

En integral för omegakonstanten är

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{1+\Omega}.

Jämförelsevis är

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{2};

ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.

Källor[redigera | redigera wikitext]