Ortogonalmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

vilket medför att

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på ortogonala matriser är:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En reell kvadratisk matris av storlek är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen för någon diagonalmatris istället.

Determinanten till en ortogonal matris är 1 eller -1:

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

De enklaste ortogonala matriserna är och .

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

får vi två möjliga lösningar

eller

.

Detta ger

, en rotationsmatris, och
, en reflektionsmatris.

Se även[redigera | redigera wikitext]