Ortogonalmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

Q^\mathrm{T}=Q^{-1}\,

vilket medför att

Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I\,

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på ortogonala matriser är:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En reell kvadratisk matris av storlek  n är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för  \mathbb{R}^n med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen  A^T A = D för någon diagonalmatris  D istället.

Determinanten till en ortogonal matris  A är 1 eller -1:

 1 = \det I = \det (A^T A) = \det A^T \det A = \det A^2 = (\det  A)^2 \,
 1 = (\det  A)^2 \Leftrightarrow \det A = \pm 1

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

De enklaste ortogonala matriserna är  [1] och [-1].

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

 \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{bmatrix}

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

1 = a^2+c^2\,\! ,
1 = b^2+d^2\,\! ,
0 = ab+cd\,\! .

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

 a = \cos \theta,\quad c = \sin \theta

får vi två möjliga lösningar

b = -\sin \theta,\quad d = \cos \theta

eller

b = \sin \theta,\quad d = -\cos \theta.

Detta ger

\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
, en rotationsmatris, och
 \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta
\end{bmatrix}
, en reflektionsmatris.

Se även[redigera | redigera wikitext]