Ortonormerad bas

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra kan begreppet ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Euklidiska rum[redigera | redigera wikitext]

I det euklidiska rummet kan varje vektor skrivas som en summa av sina komposanter:

I denna summa ger enhetsvektorerna , och upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i . I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Mängden {fn : nZ} med ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L2([0,1])


Andra rum[redigera | redigera wikitext]

Mängden {eb : bB} med eb(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l2(B).

Definition[redigera | redigera wikitext]

Linjärt spann[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en delmängd till ett vektorrum . Det linjära spannet av är den mängd, , som består av alla linjärkombinationer

vars koefficienter är komplexa tal och vars komponenter är element i mängden .

Total mängd[redigera | redigera wikitext]

En delmängd till ett normerat rum, , är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet ; det vill säga om

Ortonormerad mängd[redigera | redigera wikitext]

En delmängd till ett pre-Hilbertrum , säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten mellan två element är

Ortonormerad bas[redigera | redigera wikitext]

En delmängd till ett pre-Hilbertrum , säges vara en ortonormerad bas till om är en total, ortonormerad mängd.