Parallellogramlagen

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Parallellogram med diagonaler
Parallellogramlagen gäller även för normen (absolutbeloppet) av två vektorer (eller komplexa tal) x, y och normen av deras summa och differens:  :

Parallellogramlagen är inom matematiken en ekvation som kan förekomma i flera sammanhang. Den enklaste tillämpningen är inom vanlig geometri. För en parallellogram är summan av kvadraterna på sidonas längder lika med summan av kvadraterna på diagonalernas längder (beteckningar enligt figuren till höger):

Parallellogramlagen gäller också för komplexa tal:

Normerade rum[redigera | redigera wikitext]

I samband med normerade rum menas med parallellogramlagen ekvationen

.

Alla normerade rum uppfyller inte denna ekvation. Om rummet är ett inre produktrum med en inducerad norm enligt:

så är parallellogramlagen sann. Omvänt, om en norm uppfyller parallellogramlagen kan man från normen göra en inre produkt via polarisationsidentiteten.

Bevis inom geometrin[redigera | redigera wikitext]

Figur 3.

Bevis med Pythagoras sats[redigera | redigera wikitext]

Parallellogramlagen kan enkelt visas med Pythagoras sats. Om parallellogrammen är en rektangel eller kvadrat är diagonalerna lika och satsen trivial - den säger helt enkelt samma sak som Pythagoras sats. För en romb eller romboid enligt figur 3:

Drag höjden till förlängningen av från . Kalla sträckan från till höjdens fotpunkt (som vi kan kalla , men den är ej utmärkt i figuren) för , så att . Enligt Pythagoras sats gäller

Drag sedan höjden till från . Höjden (ej utritad) är ju densamma och avståndet till fotpunkten från är ju på samma sätt som tidigare och därmed är avståndet från till fotpunkten

Notera att triangeln enligt Pythagoras sats ger

Bevis med cosinussatsen[redigera | redigera wikitext]

Även användande av cosinussatsen ger ett enkelt bevis (beteckningar enligt figur 3):

,

eftersom och fås

Bevis för komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Vi utnyttjar i detta bevis att för varje komplext tal gäller att (se komplexkonjugat). Detta ger: