Parsevals formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Parsevals formel är en formel inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.

Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Parsevals formel har en formulering om rummet som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i är ett specialfall av den allmänna formuleringen.

Fourierserier[redigera | redigera wikitext]

I rummet säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:

och

där och är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:

Inre produktrum[redigera | redigera wikitext]

En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av är tät i V) om och endast om

för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):

och serien konvergerar i inre produktrummets norm:

Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5 
  • Yosida, Kosaku (1980). Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-10210-8