Pascalmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Pascalmatris är inom matematiken en oändlig matris innehållande binomialkoefficienter, liknande Pascals triangel. Pascalmatriser kan uttryckas på tre olika sätt; som höger- eller vänstertriangulära matriser eller som en symmetrisk matris. Om man begränsar Pascalmatrisen till en matris av format 5×5 får man då dessa representationer:

Högertriangulär:  Vänstertriangulär:  Symmetrisk:

Matrisen är helt enkelt en matris där kolonnerna är kolonnerna i Pascals triangel, men första elementet i en kolonn är det första nollskilda elementet i triangeln för motsvarande kolonn.

Man kan visa att , se att spåret av de två första matriserna är: , samt att .

Man kan också se att , där står för transponat.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Pascalmatriser kan fås genom att ta matrisexponentialen av en speciell matris med särskilda element antingen i diagonalen över eller under huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser, där elementet på rad är . Exempel:

och konstrueras likartat, men matrisen som man utgår ifrån har elementen i superdiagonalen. Man kan sedan konstruera . Konstruktionen gäller för alla , observera dock att i allmänhet inte gäller då är matriser, så man måste räkna ut två matrisexponentialer om man vill veta , eller utnyttja att .