Pascals identitet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Pascals identitet, matematiskt uttryck för binomialkoefficienter, namngivet efter matematikern Blaise Pascal. Identiten säger att

{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k}

där 1 \leq k \leq n, k,n\in \N.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Kombinatoriskt[redigera | redigera wikitext]

Pascals identitet är lätt att förstå om man betraktar den ur ett kombinatoriskt perspektiv. Eftersom \tbinom{a}{b} är antalet sätt vi kan skapa en delmängd med b element ur en mängd med a element, tecknar \tbinom{n}{k} hur många olika distinkta delmängder med k element man kan få ur en mängd med n element.

Tag nu ett element X ur mängden med n element. För varje delmängd med k element finns då två alternativ – antingen hör X till delmängden eller så gör det inte det.

  • Om X tillhör delmängden, behöver man nu endast välja k-1 element bland de n-1 som återstår för att få k stycken. Detta kan göras på \tbinom{n-1}{k-1} sätt.
  • Om X inte tillhör delmängden, behöver man nu välja alla k element ur den n-1 element stora delmängd som innehåller alla element utom X. Det kan göras på \tbinom{n-1}{k} sätt.

Vi kan alltså dra slutsatsen att antalet sätt att skapa en delmängd med k element ur en mängd med n element är lika många som att skapa en delmängd med k-1 element ur en mängd med n-1 element plus antalet sätt man kan skapa en delmängd med k element ur en mängd med n-1 element.

Vilket skulle visas.

Algebraiskt[redigera | redigera wikitext]

Vi skall visa att

 { n \choose k } + { n \choose k-1 }={ n+1 \choose k }

Vänsterledet kan skrivas om som

 \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}

Genom att hitta minsta gemensamma nämnare och förenkla fås

 \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}+\frac{kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}
=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!} =\frac{(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}={ n+1 \choose k }

Vilket skulle visas

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.