Permutationsmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Exempel på en permutationsmatris

En permutationsmatris är en kvadratisk matris som har precis en etta i varje rad och varje kolumn och vars övriga element är noll.

Permutationsmatriser är ortogonalmatriser, eftersom deras rader är omkastningar av raderna i en enhetsmatris och matriserna är således inverterbara.

Om en permutationsmatris multipliceras med en vektor permuteras vektorns rader eller kolumner beroende på om matrisen står till vänster eller höger om multiplikationstecknet.

Alla permutationer i den symmetriska gruppen kan skrivas som en n × n-permutationsmatris och dessa matriser bildar en grupp under matrismultiplikation, med enhetsmatrisen som neutralt element. Inversen till en permutation med matrisen P ges av , där T betecknar transponat.

Matrisspåret av en permuationsmatris är antalet fixpunkter för permutationen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet en permutation π av m element,

representerad i form av två rader av

finns det två naturliga sätt att associera permutationen med en permutationsmatris, nämligen att starta med en m × m enhetsmatris, Im och endera permutera kolumnerna eller raderna i Im i enlighet med π. Båda sätten att definiera en permutationsmatris förekommer i litteraturen och egenskaperna utryckta i den ena representationen kan enkelt översättas till den andra representationen. Denna artikel behandlar blott den ena representationen med undantag av när det finns särskilda skäl för att uppmärksamma skillnaden.

m × m-permutationsmatrisen Pπ = (pij) erhållen genom permutation av kolumnerna av indetitetsmatrisen Im, det vill säga, för varje i är pij = 1 om j = π(i) eller 0 i övriga fall, kommer att refereras till som kolumnrepresentation i denna artikel.[1] Då elementen i rad i är alla 0 med undantag för en 1:a som förekommer i π(i), kan vi skriva

där , en standardbasvektor, betecknar en radvektor av längden m med 1 i position j och 0 i övriga positioner.[2]

Exempelvis är, permutationmatrisen Pπ svarande mot permutationen

Observera att kolomn j av I5 i identitetsmatrisen nu uppträder som π(j)-kolumnen hos Pπ.

Den andra representationen, erhållen genom permutering av raderna hos indentitetsmatrisen Im, det vill säga, för varje j, är pij = 1 om i = π(j) och 0 i övrigt, refereras till som radrepresentationen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Kolumnrepresentationen av en permutationmatris används genomgående i detta avsnitt om inte annat anges.

Att multiplicera med en kolumnvektor g permuterar vektors rader:

Upprepad användning av detta resultat visar att om M är en korrekt dimensionerad matris, är produkten, en permutation av raderna i M. Emellertid, observationen att

för varje k visar att permutationer av rader ges av π−1.

Då permutationsmatriserna är ortogonala matriser (exempelvis, ), existerar den inversa matrisen och kan skrivas som

Multiplikation av en radvektor med permuterar vektorns kolumner:

Återigen, upprepad tillämpning av detta resultat, det vill säga, multiplikation av en matris M med permutationmatrisen Pπ, enligt M Pπ, resulterar i en permutation av M:s kolumner. Notera också att

Givet två permutationer π and σ av m element, är de motsvarande permutationsmatriserna Pπ and Pσ som verkar på kolumnvektorer, komponerade enligt

Samma matriser verkande på radvektorer (multiplikation enligt mönstret M Pπ) är sammansatta enligt samma regel

För klarhets skull, ovanstående uttryck använder prefixnotation för permutationssammansättningar, det vill säga

Låt vara permutationsmatrisen som svarar mot π i dess radrepresentation. Egenskaperna hos denna representation kan bestämmas från de med kolumnrepresentation då Speciellt,

Från detta följer

och på liknande sätt,

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Permutation av rader och kolumner[redigera | redigera wikitext]

När en permutationsmatris P multipliceras från vänster med en matris M (PM) permuterar den M:s rader (här, en kolumnvektors element),

när P multipliceras från höger med M (MP) kommer den att permutera M:s kolumner (här, en radvektors element):

P * (1,2,3,4)T = (4,1,3,2)T
(1,2,3,4) * P = (2,4,3,1)

Permutation av rader[redigera | redigera wikitext]

Permutationsmatrisen Pπ motsvarande permutationen

är

Givet en vektor g,

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Terminologin är inte standard. De flesta författare väljer en notation som är konsistent med övriga notationer som kan ha introducerats så det finns vanligen ingen anledning att tillhandahålla ett specifikt namn.
  2. ^ Brualdi (2006) p.2