Polärfaktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, , där r är absolutbeloppet av z och är z:s argument.

Definition och beräkning[redigera | redigera wikitext]

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och ges av:

där är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då och är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Om A är singulärvärdesfaktoriserad, , ges matriserna i polärfaktoriseringarna av: