Pol och polar

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
En polar linje q till en punkt Q i förhållande till en cirkel med radien r och origo i O. Punkten P är inversionen av Q i förhållande till cirkeln (det vill säga att avståndet OQ är omvänt proportionellt mot OP med proportionalitetsfaktorn r2). Polarlinjen är normalen till OP genom P.

Inom geometrin används pol(punkt) och polar(linje) för att beskriva en punkt och en linje som har ett entydigt reciprokt förhållande relativt ett givet kägelsnitt. Om punkten ligger på kägelsnittet är polaren kägelsnittets tangent i punkten.

För en given cirkel innebär reciprokation i cirkeln att avbilda varje punkt i planet på dess polar och varje linje i planet på dess pol.

Specialfallet cirklar[redigera | redigera wikitext]

Polen till en linje L i en cirkel C, med origo O, är en punkt P som är inversionen i C av den punkt QL som ligger närmast O (det vill säga ligger på den normal till L som går genom O).

Om en punkt A ligger på polarlinjen q till en annan punkt Q, så ligger Q på polarlinjen a till A. Allmännare uttryckt så måste polarerna till alla punkter på linjen q gå genom dess polpunkt Q.

Förhållandet mellan poler och polarer är reciprok. Sålunda, om en punkt Q ligger på polarlinjen p till en punkt P, så måste punkten P ligga på polarlinjen q till punkten Q. De två polarlinjerna p och q behöver inte vara parallella.

Det finns ytterligare en beskrivning av polarlinjen till en punkt P i det fall den ligger utanför cirkeln C. I detta fall finns det två linjer genom P som är tangenter till cirkeln och polarlinjen till P är då den linje som går genom tangeringspunkterna (visas inte här). Detta visar att pol och polarlinje är begrepp inom den projektiva geometrin för planet och generaliserbart för varje ickesingulärt kägelsnitt i stället för cirkeln.

Reciprokation och projektiv dualitet[redigera | redigera wikitext]

Illustration av dualiteten mellan punkter och linjer och dubbelmeningen av "incidens". Om två linjer a och k passerar genom en punkt Q så förenar polarlinjen q (för polen Q) polerna A och K (till linjerna a respektive k).

Begreppet en pol och dess pollinje skapades inom den projektiva geometrin. Till exempel kan polarlinjen betraktas som mängden av projektiva harmoniska delningar till en given punkt, polen, i förhållande till ett kägelsnitt. Att ersätta varje punkt med sin polar och varje linje med sin pol kallas ibland reciprokation.

Allmänna kägelsnitt[redigera | redigera wikitext]

Linjen p är polarlinjen till punkten P, l till L och m till M
p är polarlinjen till punkten P och m är polarlinjen till M

Begreppen pol, polar och reciprokation kan generaliseras från cirklar till andra kägelsnitt, et vill säga ellipsen, hyperbolen och parabeln. Denna generalisation är möjligt eftersom kägelsnitten är resultat av reciprokation av en cirkel i en annan cirkel, och de egenskaper som är berörda (såsom incidens och dubbelförhållande) bevaras under alla projektiva avbildningar.

Beräkning av polarlinjen till en punkt[redigera | redigera wikitext]

Ett allmänt kägelsnitt kan skrivas som en andragradsekvation i planets kartesiska koordinater (x, y) som

där Axx, Axy, Ayy, Bx, By, och C är konstanterna som definierar kägelsnittets ekvation. För ett sådant kägelsnitt definieras polarlinjen till en given punkt (ξ, η) av ekvationen

där D, E och F på samma sätt är koordinater som beror av polens koordinater (ξ, η)

Beräkning av polen till en linje[redigera | redigera wikitext]

Polen till linjen i förhållande till det icke-degenererade kägelsnittet

kan beräknas i två steg:

Beräkna först x, y och z enligt:

Då är polen punkten med koordinaterna

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Poler och polarer har frlera användbara egenskaper:

  • Om en punkt P ligger på en linje l, så ligger polen L till linjen l på polaren p till punkten P.
  • Om en punkt P rör sig längs en linje l så roterar dess polarlinje p runt polen L till linjen l.
  • Om två tangenter kan dras till kägelsnittet från en pol så går punktens polarlinje genom båda tangeringspunkterna.
  • Om en punkt ligger på kägelsnittet så är dess polarlinje tangenten till snittet i punkten.
  • Om en punkt P ligger på sin egen polarlinje så ligger P på kägelsnittet.
  • Varje linje har exakt en pol i förhållande till ett icke-degenererat kägelsnitt.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Poler och polarer definierades av Joseph Diaz Gergonne och spelar en viktig holl i dennes lösning av Apollonius problem.[1]

I plan dynamik är en pol rotationscentrum, polaren är verkans kraftlinje och kägelsnittet masströghetsmatrisen.[2] Pol-polar-förhållandet används för att definiera perkussionscentrum för en plan stel kropp. Om polen är vridningspunkten så är polaren verkningslinjen enligt planär skruvteori.


Se även[redigera | redigera wikitext]

Bibliografi[redigera | redigera wikitext]

  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. Sid. 43–45.  The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
  • Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. Sid. 190–191. ISBN 0-14-011813-6. 
  • Turnbull W P (1867). An introduction to analytical plane geometry. London: Deighton Bell & Co. Sid. 83ff. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections”. http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf. Läst 4 juni 2013. 
  2. ^ John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108 Arkiverad 19 juli 2011 hämtat från the Wayback Machine.

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]