Polygammafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:

Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.

Integralrepresentation[redigera | redigera wikitext]

Polygammfunktionen kan skrivas som integralen

för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen

.

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien

för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som

En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom

fås genom logaritmering

och slutligen

där är Kroneckers delta.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien vid z = 1 är

och

som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.

Differensekvation[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen

Reflektionsformel[redigera | redigera wikitext]

Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är

och

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

En generalisering av polygammafunktionen för och är

Den satisfierar differensekvationen

där är Eulers konstant.

Multiplikationsformeln är


Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygamma function, 21 november 2013.