Produktmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.

Produkt-sigma-algebra[redigera | redigera wikitext]

Låt , , vara en familj av mätbara rum. Indexmängden kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna , dvs

En mängd är en kon om det finns en ändlig mängd och mängder , , så att

Med andra ord är konen en produkt:

där

d.v.s. bara ett ändlig antal av är icke-.

En kon är en mätbar kon om

för alla .

Låt vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt-sigma-algebra, , är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är

Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

Produktmått[redigera | redigera wikitext]

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt , , vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

definiera ett "mått"

Den här funktionen är sigma-additiv och . Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att bildar en algebra, dvs

  • och
  • .

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra . Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, , för funktionen som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

så att en trippel

är ett måttrum.

När är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Lebesguemåttet i , när , är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt och vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

är -mätbar eftersom

.

Å andra sidan det är icke -mätbar eftersom

.

Så att

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

och för alla -mätbara koner

.

Så att

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

Fubinis sats[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Fubinis sats

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt och vara sigma-ändliga måttrum och vara produktmåttet.

Fubinis sats säger att om är integrerbar med avseende på produktmåttet , dvs

så är

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.