Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.
Låt
,
, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden
kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna
, dvs

En mängd
är en kon om det finns en ändlig mängd
och mängder
,
, så att

Med andra ord är konen en produkt:

där

d.v.s. bara ett ändlig antal av
är icke-
.
En kon
är en mätbar kon om

för alla
.
Låt
vara en familj av alla mätbara koner.
En produkt-sigma-algebra,
, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är

Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.
När
är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.
Låt
,
, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.
För en kon

definiera ett "mått"

Den här funktionen
är sigma-additiv och
. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner
inte bildar en sigma-algebra.
Å andra sidan det går att visa att
bildar en algebra, dvs

och
.
Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra
. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning,
, för funktionen
som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

så att en trippel

är ett måttrum.
När
är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

Lebesguemåttet i
, när
, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt
och
vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

är
-mätbar eftersom
.
Å andra sidan det är icke
-mätbar eftersom
.
Så att

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att
![{\displaystyle {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e37f40afe7584535cab35b39cad87f4470edc)
och för alla
-mätbara koner
.
Så att
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7276d4fa1864448d4058c6b737a8494ecb77da9f)
eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.
En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt
och
vara sigma-ändliga måttrum och
vara produktmåttet.
Fubinis sats säger att om
är integrerbar med avseende på produktmåttet
, dvs

så är

- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.