Produktmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Produktmått är inom matematiken ett typ av mått som är en produkt av andra mått.

Produkt sigma-algebra[redigera | redigera wikitext]

Låt (X_i,\mathcal{F}_i), i \in I\,, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden I\, kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna X_i\,, dvs

X := \prod_{i \in I} X_i = \{(x_i)_{i \in I} : x_i \in X_i, \ i \in I\}.\,

En mängd A \subset X\, är en kon om det finns en ändlig mängd K_A \subset I\, och mängder A_k \subset X_k\,, k \in K_A\,, så att

A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \}.

Med andra ord, konen är en produkt:

A = \prod_{i \in I} Y_i

där

Y_i := \begin{cases}A_i, & i \in K_A ,\\X_i, & i \notin K_A.\end{cases}

dvs bara ett ändlig antal av Y_i\, är icke-X_i\,.

En kon A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \} är en mätbar kon om

A_k \in \mathcal{F}_k\,

för alla k \in K_A\,.

Låt \mathcal{K}\, vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt sigma-algebra, \mathcal{F}, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt sigma-algebra är

\mathcal{F} := \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i = \sigma(\mathcal{K}).

Detta innebär att produkt sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När I = \{1,2,...,k\}\, är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \otimes ... \otimes \mathcal{F}_k .

Produktmått[redigera | redigera wikitext]

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i), i \in I\,, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \}.

definiera ett "mått"

\tau (A) := \prod_{k \in K_A} \mu_k (A_k).\,

Den här funktionen \tau : \mathcal{K} \rightarrow [0,\infty]\, är sigma-additiv och \tau(\varnothing) = 0\,. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner \mathcal{K}\, inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att \mathcal{K}\, bildar en algebra, dvs

  • X \in \mathcal{K},\,
  • A \in \mathcal{K} \Rightarrow X \setminus A \in \mathcal{K}\, och
  • A,B \in \mathcal{K} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{K}\,.

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra \mathcal{K}\,. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, \mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\,, för funktionen \tau\, som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

\mu := \prod_{i \in I} \mu_i ,

så att en trippel

(X,\mathcal{F},\mu) = \left( \ \prod_{i \in I} X_i \ , \ \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i \ , \ \prod_{i \in I} \mu_i \ \right)

är ett måttrum.

När I = \{1,2,...,k\}\, är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

\mu_1 \times \mu_2 \times ... \times \mu_k .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Lebesguemåttet i \R^n, när n \geq 2\,, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

\mathcal{L}_n = \mathcal{L}_1 \times ... \times \mathcal{L}_1

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt n = 2\, och N \subset \R vara en icke Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

A := \{0\} \times N

är \mathcal{L}_2-mätbar eftersom

\mathcal{L}_2 (A) = 0\,.

Å andra sidan det är icke \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1-mätbar eftersom

A \notin [\mbox{Leb}\,\R] \otimes [\mbox{Leb}\,\R] .

Så att

\mathcal{L}_2 \neq \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1.

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

\mbox{Bor}\,\R^n = [\mbox{Bor}\,\R] \otimes [\mbox{Bor}\,\R] \otimes ... \otimes [\mbox{Bor}\,\R] ,

och för alla  [\mbox{Bor}\,\R] -mätbara koner A \subset \R^n

\mathcal{L}_n (A) = (\mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1 \times ... \times \mathcal{L}_1)(A).

Så att

\mathcal{L}_n | \mbox{Bor}\,\R^n = [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R]  \times [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R]  \times ... \times [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R],

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

Fubinis sats[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Fubinis sats

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt (X,\mathcal{F},\mu) och (Y,\mathcal{G},\nu) vara sigma-ändliga måttrum och \mu \times \nu\, vara produktmåttet.

Fubinis sats säger att om f : X \times Y \rightarrow \overline{\R} är integrerbar med avseende på produktmåttet \mu \times \nu\,, dvs

\int |f| \, d(\mu \times \nu) < \infty ,

så är

\int f \, d(\mu \times \nu) = \iint f(x,y) \, d\mu(x) \, d\nu(y) = \iint f(x,y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.