Ptolemaios sats

Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10. Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:

Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen $ABCD$ (se figur till höger) gäller alltså:

$|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|.$

Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.

Bevis

Figur 1, 2 och 3.

Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.

Bevis med likformiga trianglar (Ptolemaios metod)

Vi har en cyklisk fyrhörning $ABCD$. I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är $\angle BAC=\angle BDC$ (blå) och $\angle ADB=\angle ACB$ (grön) i figur 1. Välj punkten $K$ på ${\overline {AC}}$ så att $\angle CBD=\angle ABK$ (orange). Eftersom $\angle ABK+\angle CBK=\angle CBA=\angle CBD+\angle ABD=\angle ABK+\angle ABD$ så är $\angle CBK=\angle ABD$. Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels $\triangle ABK$ och $\triangle BCD$ (figur 2) och dels $\triangle ABD$ och $\triangle BCK$ (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att

${\frac {|{\overline {AK}}|}{|{\overline {AB}}|}}={\frac {|{\overline {CD}}|}{|{\overline {BD}}|}}\quad \Leftrightarrow \quad |{\overline {AK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|$

och ur figur 3 får vi på samma sätt att

$|{\overline {CK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|.$

Genom att addera dessa två uttryck får vi

$|{\overline {AK}}|\cdot |{\overline {BD}}|+|{\overline {CK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|\quad \Leftrightarrow$

$(|{\overline {AK}}|+|{\overline {CK}}|)\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|.$

Men $|{\overline {AK}}|+|{\overline {CK}}|=|{\overline {AC}}|$, vilket ger

$|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|.$

Ett trigonometriskt bevis

Beteckningarna a, b, c, d på sidorna kan förvirra så bortse från dem. (Vinkeln α är den till b motstående vinkeln i O.)

Om vi med $O$ avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med $R$ dess radie och med $2\alpha$, $2\beta$ och $2\gamma$ avser de tre vinklarna $\angle AOB$, $\angle BOC$ respektive $\angle COD$ i figuren till höger ser vi att:

$|AB|=2R\sin \alpha$,

$|BC|=2R\sin \beta$,

$|CD|=2R\sin \gamma$,

$|AD|=2R\sin(\alpha +\beta +\gamma )$,

$|AC|=2R\sin(\alpha +\beta )$ och

$|BD|=2R\sin(\beta +\gamma ).$

Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort $4R^{2}$, skrivas som:

$\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )$

Genom att använda additionsformlerna $\sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y$ och $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ samt trigonometriska ettan i formen $\sin ^{2}\beta =1-\cos ^{2}\beta$ fås att båda sidor är lika med

$\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma +\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma$

och satsen är därmed bevisad.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Ptolemaios sats.
  Bilder & media