Ptolemaios sats

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ptolemy equality.svg

Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10.[1] Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:

Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen (se figur till höger) gäller alltså:[2]

Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Figur 1, 2 och 3.

Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.

Bevis med likformiga trianglar (Ptolemaios metod)[redigera | redigera wikitext]

Vi har en cyklisk fyrhörning . I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är (blå) och (grön) i figur 1. Välj punkten så att (orange). Eftersom så är . Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels och (figur 2) och dels och (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att

och ur figur 3 får vi på samma sätt att

Genom att addera dessa två uttryck får vi

Men , vilket ger

Ett trigonometriskt bevis[redigera | redigera wikitext]

Beteckningarna a, b, c, d på sidorna kan förvirra så bortse från dem. (Vinkeln α är den till b motstående vinkeln i O.)

Om vi med avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med dess radie och med , och avser de tre vinklarna , respektive i figuren till höger ser vi att:

,
,
,
,
och

Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort , skrivas som:

Genom att använda additionsformlerna och samt trigonometriska ettan i formen fås att båda sidor är lika med

och satsen är därmed bevisad.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Heinz Dieter Ebbinghaus et.al., 2012, Numbers, sid. 82. ISBN 9781461210054.
  2. ^ Weisstein, Eric W., "Ptolemy's Theorem", MathWorld. (engelska)