Pythagoreisk trippel

En pythagoreisk trippel är inom talteorin tre positiva heltal x, y och z som uppfyller den diofantiska ekvationen x² + y² = z². Sådana tal motsvaras av längderna på sidorna i en rätvinklig triangel eftersom de uppfyller villkoren i Pythagoras sats.

3, 4 och 5 är exempelvis en sådan taltrippel. En triangel med dessa sidolängder kallas för en egyptisk triangel.

Alla pythagoreiska tal kan fås med hjälp av formlerna

x = k(m² - n²)

y = 2kmn

z = k(m² + n²)

där k, m och n är positiva heltal och där m > n

Om x, y och z inte har någon gemensam delare, så kallas trippeln primitiv. En pythagoreisk trippel är primitiv om och endast om två av talen x, y och z är relativt prima.

Om k = 1 och m och n är relativt prima och båda inte är udda, så är den bildade trippeln primitiv.

Exempel

Om k = 1 fås för

m = 2 och n = 1, trippeln 3, 4, 5.

m = 3 och n = 2, trippeln 5, 12, 13.

m = 4 och n = 1, trippeln 15, 8, 17.

m = 4 och n = 3, trippeln 7, 24, 25.

m = 5 och n = 2, trippeln 21, 20, 29.

m = 6 och n = 3, trippeln 27, 36, 45. (Ej primitiv; 3·9, 4·9, 5·9)

Se även

Fermats stora sats

Källor

C. Hyltén-Cavallius och L. Sandgren, Matematisk Analys I, Lunds Studentkårs Intressebyrå, Lund 1962.

Oystein Ore, Invitation to Number Theory. Mathematical Association of America, 1967