Radonmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett topologiskt rum. Borelmåttet i är ett Radonmått, om

  • för alla kompakt mängder .
  • för alla öppna mängder .
  • för alla Borelmängder .

Om är ett Borelmått är i ett Radonmått om och endast om är ett lokalt ändligt mått, dvs

för alla existerar så att för alla .

Applikationer[redigera | redigera wikitext]

Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.

Karakterisation med funktionaler[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Riesz representationssats.

Om är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i med funktionaler. Man kan visa att

är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått i så att

för alla . I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.

Hausdorffdimension[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Frostmans lemma.

Om kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt vara en kompakt mängd och . Man kan visa att

om och endast om det finns ett Radonmått i så att

, och

för alla och där .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.