Randvinkelsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Figur 1: Randvinklar och medelpunktsvinkel
Figur 2: Kordorna bildar vinkeln

där d är cirkelns diameter
Figur 3: Enligt korda-tangentsatsen är vinkeln mellan en korda (, violett) och en tangent (grön) lika med randvinkeln på den motsatta sidan om kordan.

Enligt randvinkelsatsen (periferivinkelsatsen) är medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge dubbelt så stor som en randvinkel till samma båge.

Medelpunktsvinkeln är vinkeln i cirkelns medelpunkt mellan radierna till två punkter på cirkelns periferi (en kordas båda ändpunkter).

En randvinkel (även periferivinkel eller bågvinkel) bildas av ändpunkterna till en given cirkelbåge eller korda och av en punkt på cirkelns rand som inte tillhör den givna cirkelbågen.

Allmänt gäller för två linjer som skär varandra i det inre, eller på randen, av en cirkel med diametern d, att de bildar vinkeln (se figur 2)

där b är den sammanlagda längden av de bågar som linjerna skär av i de områden där vinkeln mäts. Av detta följer randvinkelsatsen som ett specialfall, då linjer vars skärningspunkt ligger på randen skär av en båge medan linjer som skär varandra i medelpunkten skär av två bågar. Om bågarna antas vara lika långa följer att randvinkeln är hälften så stor som medelpunktsvinkeln.

En viktig följd är att alla randvinklar som spänner över samma korda, och på samma sida om denna, är likstora. Två randvinklar, en på vardera sidan om en korda har summan 180°.[1]

Korda-tangentsatsen säger att vinkeln mellan en korda och tangenten till cirkeln i endera av kordans ändpunkter är lika med randvinkeln på den motatta sidan om kordan.[2]

Ett viktigt specialfall av randvinkelsatsen är då medelpunktsvinkeln är en rak vinkel (180°), varvid randvinkeln, som ju då spänner över en diameter, är en rät vinkel. Denna följdsats kallas Thales sats och innebär att en rätvinklig triangels omskrivna cirkels medelpunkt sammanfaller med hypotenusans mittpunkt eftersom hypotenusan är en diameter i den omskrivna cirkeln. Diogenes Laertios skriver[3] att enligt Pamphila offrade Thales en oxe när han gjorde denna upptäckt (och tillägger att andra, bland dem Apollodorus, säger detsamma om Pythagoras).[4]

Ett vanligt bevis för randvinkelsatsen är en tillämpning av Euklides första kongruensfall och yttervinkelsatsen, i vilken parallellaxiomet spelar en avgörande roll. Därmed gäller inte randvinkelsatsen i icke-euklidisk geometri.

En viktig konsekvens av randvinkelsatsen är kordasatsen som är en sats ur likformighetsgeometrin, i likhet med till exempel transversalsatsen och topptriangelsatsen.

Figur 4:Tre olika fall med medelpunktsvinkel (blå), randvinkel (röd) och korda-tangent-vinkel (grön). Fallet i mitten avspeglar förhållandena vid Thales sats.

Härledningar[redigera | redigera wikitext]

Randvinkelsatsen[redigera | redigera wikitext]

Figur5.

Figur 5 visar en cirkel med medelpunkt i och radierna (gröna) , , , och .

Betrakta kordan med randvinkeln och cirkelns medelpunkt på vinkelbenet . Vi har via vinkelsumman i , samt och att:

Vi har därför även visat att:

och

På samma sätt visas (via respektive ) att:

och

I fallet att cirkelns medelpunkt ligger inuti triangeln som bildas av kordan och randvinkeln, som , har vi:

och i det fall medelpunkten ligger utanför triangeln, som har vi:

Randvinkelsatsen är därmed bevisad.

Thales sats[redigera | redigera wikitext]

Thales sats är specialfallet av randvinkelsatsen då medelpunktsvinkeln är 180°, randvinkeln blir då 180°/2 = 90°. Den fås ur figur 5 genom:

(likbenta trianglar: ...)

Eftersom är den till den rätvinkliga triangelns omskrivna cirkelns medelpunkt mittpunkt på triangelns hypotenusa .

"Satsen" (b1 + b2) / d = θ[redigera | redigera wikitext]

Figur 6.

Att , där är cirkelns diameter visas med hjälp av figur 6, randvinkelsatsen och vinkelsumman i .

Om cirklen har radien och medelpunkten så är:

Om kordornas skärningspunkt ligger på cirkeln som i fallet blir medelpunktsvinkel, och randvinkeln lika med vinkeln i , varur vi får tillbaka randvinkelsatsen:

Denna "sats" är halva sekantvinkelsatsen.

Korda-tangentsatsen[redigera | redigera wikitext]

Figur 7.

Korda-tangentsatsen visas enkelt med randvinkelsatsen tillämpad på i figur 7. Denna har medelpunktsvinkeln och eftersom det är en likbent triangel är de båda övriga vinklarna , mellan kordan och cirkelns radier till triangelhörnen, lika: . Vinkeln mellan tangenterna till cirkeln i och och respektive radie till punkten är , så vinkeln mellan tangenten och kordan är alltså . Korda-tangentsatsen är därmed bevisad.

Ur denna sats följer att de båda tangenterna till cirkeln i kordans ändpunkter skär varandra i med vinkeln , det vill säga att summan av medelpunktsvinkeln och tangenternas skärningsvinkel är (vilket även fås ur fyrhörningen ; med två räta vinklar är summan av de båda övriga 180°).

Vi får också ett förhållande mellan avståndet från tangeringspunkten till skärningspunkten, radiens längd och randvinkeln eftersom är rätvinklig och har hörnvinkeln i :

Referenser och noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Summan av deras medelpunktsvinklar är ju 360°.
  2. ^ Jana Madjarova, 2012, Cirklar, kordor och tangenter, vinklar... och annat, Kleindagarna 12-17 juni 2012, sid. 2.
  3. ^ I Επτά σοφοί, Hepta sofoi, "De sju vise", I:24. Se Lives of the Eminent Philosophers/Book I Översättning till engelska på Wikisource].
  4. ^ Thales på Math Open Reference.