Rationell funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Grafen av den rationella funktionen

En rationell funktion är inom matematiken en funktion som är en kvot mellan två polynom.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En funktion p(x) av en variabel x är en rationell funktion om den kan skrivas som

där f och g är polynom och g är skild från nollfunktionen. Den största definitionsmängden för en rationell funktion är mängden av alla värden för vilka g är nollskild.

En funktion som inte är rationell, det vill säga inte kan uttryckas som en kvot mellan två polynom, kallas för en irrationell funktion.

Om f har ett högre gradtal än g kan den rationella funktionen skrivas på formen

där r har ett lägre gradtal än g och vilket kan åstadkommas genom polynomdivision.

Ett tredje sätt att skriva en rationell funktion är genom partialbråk.

Användning[redigera | redigera wikitext]

I komplex analys ses rationella funktioner som avbildningar mellan Riemannsfären och specialfallet då båda polynomen i funktionen är linjära kallas för Möbiusavbildning.

Inom abstrakt algebra spelar mängden av alla rationella funktioner över en kropp roll som fraktionskroppen till polynomringen över kroppen.

Asymptoter[redigera | redigera wikitext]

När man undersöker en rationell funktion är, förutom derivatans nollställen, även nämnarens nollställen intressanta. Eftersom nämnaren inte får vara noll är de x som gör nämnaren till noll viktiga att undersöka. Dessa x tillhör inte definitionsmängden, utan här har funktionen en lodrät asymptot. För att kunna göra en bra analys måste man jämföra gradena på polynomen och

Vi ska undersöka de tre möjliga fallen:

Fall 1[redigera | redigera wikitext]

Grad Grad Funktionen har asymptoterna x = a om och den vågräta asymptoten Att hitta den vågräta asymptoten görs lättast genom att dividera med den term som har högst grad i både täljare och nämnare och låta x →

Fall 2[redigera | redigera wikitext]

Grad Grad Funktionen har de lodräta asymptoterna om och den vågräta asymptoten där c är en konstant. Här gör man samma sak som i Fall 1 och förlänger bråket med 1 delat med högstagradstermen i både täljare och nämnare för att sedan låta x →

Fall 3[redigera | redigera wikitext]

Grad Grad De lodräta asymptoterna erhålls som tidigare genom att sätta nämnaren till noll. I det fall då Grad Grad finns det ytterligare en sned asymptot som är sned. Denna asymptots ekvation bestäms lättast genom polynomdivision av med . Och sedan låta . är alltså den sneda asymptoetns ekvation. Det går bra att använda metoden för division av polynom även i fall 2.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi använder exemplet i bilden till höger i början av artikeln:

De lodräta asymptoterna finns i

Hitta de vågräta asymtoterna genom att låta x gå mot oändligheten. Dividera med högsta gradstermen i både täljare och nämnare.

Den vågräta asymptoten är alltså y = 1.

Exempel 2[redigera | redigera wikitext]

polynomdivision ger funktionen

När x går mot oändligheten går funktionen mot sin asymptot:

så den vågräta asymptoten är y = 1.