Reell analytisk Eisensteinserie

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är den enklaste reella analytiska Eisensteinserien en speciell funktion i två variabler. Den används inom representationsteorin för SL(2,R) och analytisk talteori. Den är nära relaterad till Epsteins zetafunktion.

Det finns många generaliseringar associerade till mer komplicerade grupper.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Eisensteinserien E(z, s) för z = x + iy i övre planhalvan definieras som

för Re(s) > 1, och med analytisk fortsättning för andra komplexa tal s. Summan är över alla par av relativt prima heltal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Som en funktion av z[redigera | redigera wikitext]

Betraktad som en funktion av z, är E(z,s) en reell analytisk egenfunktion av Laplaceoperatorn över H' med egenvärdet s(s-1). I andra ord satisfierar den den elliptiska partiella differentialekvationen

   where

Funktionen E(z, s) är invariant under påverkan av SL(2,Z) över z i övre planhalvan av Möbiustransformationer. Tillsammans med den tidigare egenskapen betyder detta att Eisensteinserien är en Maassform, en reell-analytisk analogi av klassiska elliptiska modulära funktioner.

Som en funktion av s[redigera | redigera wikitext]

Eisensteinserien konvergerar för Re(s)>1, men kan analytisk fortsättning till en meromorfisk funktion av s i hela komplexa planet med en unik pol med residy π vid s = 1 (för alla z i H). Konstanta termen vid polen s = 1 beskrivs av Kroneckers gränsvärdesformel.

Den modifierade funktionen

satisfierar funktionalekvationen

analog till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion ζ(s).

Skalärprodukten av två olika Eisensteinserier E(z, s) och E(z, t) ges av Maass-Selberg-relation.

Fourierexpansion[redigera | redigera wikitext]

Egenskaperna ovan av reella analytiska Eisensteinserien, det vill säga funktionalekvationen för E(z,s) och E*(z,s) genom att använda Laplacianen över H, är konsekvenser av det att E(z,s) har en Fourierexpansion:

där

och den modifierade Besselfunktionen

Epsteins zetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Epsteins zetafunktion ζQ(s) (Epstein 1903) för en positiv definit heltalskvadratisk form Q(m, n) = cm2 + bmn +an2 definieras som

Den är essentiellt ett specialfall av reella analytiska Eisensteinserien för ett speciellt värde av z, eftersom

för

Denna zetafunktion är uppkallad efter Paul Epstein.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Reella analytiska Eisensteinserien E(z, s) är Eisensteinserien associerad till den diskreta delgruppen SL(2,Z) av SL(2,R). Selberg har beskrivit generaliseringar till andra diskreta delgrupper Γ av SL(2,R) och använt dem till att undersöka representationer av SL(2,R) över L2(SL(2,R)/Γ). Langlands utvidgade Selbergs arbete till grupper med högre dimension; hans komplicerade bevis förenklades senare av Joseph Bernstein.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Real analytic Eisenstein series, 15 maj 2014.