Riemann–Siegels thetafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som

\theta(t) = \arg \left(
\Gamma\left(\frac{2it+1}{4}\right)
\right) 
- \frac{\log \pi}{2} t

för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att \theta(0)=0.

Den har den asymptotiska expansionen

\theta(t) \sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi} - \frac{t}{2} - \frac{\pi}{8}+\frac{1}{48t}+ \frac{7}{5760t^3}+\cdots

som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för t \gg 1. Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för |t| < 1/2 och ges av

\theta(t) = -\frac{t}{2} \log \pi + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \psi^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right) }{(2k+1)!} \left(\frac{t}{2}\right)^{2k+1}

där \psi^{(2k)} betecknar polygammafunktionen av ordning 2k. Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen s = 1/2 + i t.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann–Siegel theta function, 18 maj 2014.

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]