Rogers–Ramanujans kedjebråk

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogers 1894 och oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna. Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna,

och


(OEISA003114 och OEISA003106) där betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen, då är Rogers–Ramanujans kedjebråk

Modulära funktioner[redigera | redigera wikitext]

Om q = e2πiτ är och , såsom även deras kvot , modulära funktioner av τ. Eftersom de har heltalskoefficienter, följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit.

Exempel[redigera | redigera wikitext]


där är det gyllene snittet.

Relation till modulära former[redigera | redigera wikitext]

Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion, en modulär form av vikt 1/2, enligt[1]

Relation till j-invarianten[redigera | redigera wikitext]

En formel för j-invarianten är

där

Genom att eliminera eta-kvoten kan j(τ) skrivas med hjälp av som


där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern. Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R(q5) kan man bevisa att

som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan

parameteriserad av icke-spetspunktarna av den modulära kurvan .

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

Vi använder beteckningen q = e2πiτ. Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar

och Dedekinds etafunktion satsifierar

innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk[2] det gyllene snittet :

Modulära ekvationer[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan och . Några eleganta sådana för små primtal n är:[3]

Låt u = R(q) och v = R(q2). Då är


Låt u = R(q) och v = R(q3). Då är


Låt u = R(q) och v = R(q5). Då är


Låt u = R(q) och v = R(q11) Då är


För n = 5, notera att

Andra resultat[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q).[4] Låt , och vara det gyllene snittet.

Om är

Om är

Potenserna av R(q) kan skrivas på intressanta sätt. För dess kub är

För dess femte potens, låt , då är

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Rogers–Ramanujan continued fraction, 8 maj 2014.
  1. ^ Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
  2. ^ Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9)
  3. ^ Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction", http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
  4. ^ Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]