Sannolikhetsrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en icke-tom mängd och en sigma-algebra i . En funktion är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran om den besitter de två egenskaperna:

  • Funktionen är ett mått

Ett sannolikhetsrum är en trippel . är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, , på ett reellt tal, (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

där och sannolikhetsmåttet är ,

där är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om är ett måttrum där kan man definiera ett sannolikhetsmått ,

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet är en trippel .

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om , och (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt vara ett sannolikhetsrum och en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

där

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är :s bildmått med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar[redigera | redigera wikitext]

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Stokastisk variabel

Stokastik variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt vara ett sannolikhetsrum. En funktion är en stokastisk variabel om

för alla Borelmängder

Detta innebär att en funktion är -mätbara.

Väntevärde[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastik variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt vara ett sannolikhetsrum. Om är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

.

Här är en måttintegral med avseende på måttet .

Varians och kovarians[redigera | redigera wikitext]

Huvudartiklar: Varians och Kovarians

Man kan definiera en varians och en konvarians med väntevärde.

Variansen för ett stokastisk variabel , med , är talet

,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler är ett tal

.

Konvergenssatser[redigera | redigera wikitext]

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

  • Om är händelser så är
.
  • Om är händelser så är
.

Fatous lemma: om är stokastiska variabler får man att

Monotona konvergenssatsen: om är stokastiska variabler med finns det och

Dominerade konvergenssatsen: om och är stokastiska variabler med för alla och finns det och

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.