Satsen om den öppna avbildningen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Satsen om den öppna avbildningen eller Banach-Schauders sats är inom funktionalanalys ett mycket användbart resultat.

Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]

Låt och vara två Banachrum. Varje kontinuerlig, linjär och surjektiv operator, , är en öppen avbildning.

Satsens innebörd[redigera | redigera wikitext]

En öppen avbildning skall jämföras med en kontinuerlig avbildning:

En avbildning är kontinuerlig om den inversa bilden av en öppen mängd är en öppen mängd:
För varje öppen mängd i rummet är den inversa bilden en öppen mängd i rummet .
En avbildning är öppen om varje bild av en öppen mängd är en öppen mängd:
För varje öppen mängd i rummet är bilden en öppen mängd i rummet .

Banach-Schauders sats medför att öppna mängder i rummet svarar mot öppna mängder i rummet och vice versa, om och kan förbindas med en avbildning som är kontinuerlig, linjär och bijektiv. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att de topologiska strukturerna på rummen och är isomorfa och att avbildningen T är en homeomorfism: Att undersöka kontinuitetsegenskaper i rummet är detsamma som att undersöka kontinuitet i rummet och vice versa.

Bevis av Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]

Beviset bygger på Baires kategoriteorem och begreppet ingenstans-tät mängd.

Konsekvenser av Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]