Schurs sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Schurs sats är en sats inom linjär algebra. Satsen är uppkallad efter den judiske matematikern Issai Schur (1875 - 1941) som bland annat studerade under Frobenius. Enligt satsen kan alla n × n-matriser, i någon bas, representeras av en uppåt triangulär matris.

Schurs sats[redigera | redigera wikitext]

Låt  A:V \rightarrow V vara en linjär avbildning och  V vara ett (komplext) vektorrum. Då finns det en ortonormerad bas för V så att A i denna bas representeras av en uppåt triangulär matris, det vill säga alla n × n-matriser kan skrivas på formen

A = U T U^{-1}\,

där U är en unitär matris (inversen av U är lika med det hermiteska konjugatet för U) och T är en uppåt triangulär matris med egenvärdena till A på diagonalen.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Satsen bevisas genom matematisk induktion.

Låt V vara ett vektorrum och A: V \rightarrow V vara en linjär avbildning.

  • Satsen är sann om \dim(V) = 1 (då en 1 × 1-matris är uppåt triangulär).
  • Antag att satsen är sann då \dim(V) = n - 1.

Låt \bar{u}_1 vara en normerad egenvektor till A som hör till egenvärdet \lambda_1, dvs

A\bar{u}_1 = \lambda_1 \bar{u}_1,\  \begin{Vmatrix}\bar{u}_1\end{Vmatrix} = 1.

Låt nu W vara det ortogonala komplimentet till \bar{u}_1,

W = \left[ \bar{u}_1 \right]^{\perp}.

Dimensionen för W blir då \dim(V) - 1 = n - 1.
Låt vektorerna \bar{v}_2, \bar{v}_3, \cdots, \bar{v}_n vara en ortonormerad bas för W.

Då utgör \bar{u}_1, \bar{v}_2, \bar{v}_3, \cdots, \bar{v}_n en ortonormerad bas för V.

I denna bas representeras A av matrisen

\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & \cdots & * \\ 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b_{n1} & \cdots & b_{nn}\end{pmatrix}

Första kolonnen består endast av egenvärdet \lambda_1 följt av nollor. Alla element till höger om  \lambda_1 på första raden är ointressanta.

Däremot låter vi det nedre högra blocket definiera en ny avblidning  B:W \rightarrow W .
\dim(W) = n - 1 så finns enligt antagandet en ortonormerad bas \bar{u}_2, \bar{u}_3, \cdots, \bar{u}_n för  W så att B övergår i uppåt triangulär form i denna bas, vilket medför att även A, i basen \bar{u}_1,\bar{u}_2, \bar{u}_3, \cdots, \bar{u}_n, övergår uppåt i triangulär form.

Anmärkningar[redigera | redigera wikitext]

  • Även om man utgår från en reell matris så kan matriserna U och T ha komplexa element.
    Exempel: rotationsmatrisen
     \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}
    har endast komplexa egenvärden, och då T har egenvärden på diagonalen så kommer T i detta fall ha komplexa värden på diagonalen.
  • Om A är en normal matris (AA^* = A^*A) så är matrisen T diagonal med egenvärden på diagonalen. Därmed så kan Schurs sats ses som en utvidgning av spektralsatsen.
  • Om två matriser kommuterar ( AB = BA ) så kan de skrivas om med samma bas, dvs  A = U T_A U^* och  B = U T_B U^* med samma unitära matris  U .

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong, Kapitel 6, Brown University, 2004