Schurs sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Schurs sats är en sats inom linjär algebra. Satsen är uppkallad efter den judiske matematikern Issai Schur (1875 - 1941) som bland annat studerade under Frobenius. Enligt satsen kan alla n × n-matriser, i någon bas, representeras av en uppåt triangulär matris.

Schurs sats[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en linjär avbildning och vara ett (komplext) vektorrum. Då finns det en ortonormerad bas för V så att A i denna bas representeras av en uppåt triangulär matris, det vill säga alla n × n-matriser kan skrivas på formen

där U är en unitär matris (inversen av U är lika med det hermiteska konjugatet för U) och T är en uppåt triangulär matris med egenvärdena till A på diagonalen.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Satsen bevisas genom matematisk induktion.

Låt vara ett vektorrum och vara en linjär avbildning.

  • Satsen är sann om (då en 1 × 1-matris är uppåt triangulär).
  • Antag att satsen är sann då .

Låt vara en normerad egenvektor till A som hör till egenvärdet , dvs

.

Låt nu W vara det ortogonala komplimentet till ,

.

Dimensionen för W blir då .
Låt vektorerna vara en ortonormerad bas för W.

Då utgör en ortonormerad bas för V.

I denna bas representeras A av matrisen

Första kolonnen består endast av egenvärdet följt av nollor. Alla element till höger om på första raden är ointressanta.

Däremot låter vi det nedre högra blocket definiera en ny avblidning .
så finns enligt antagandet en ortonormerad bas för så att B övergår i uppåt triangulär form i denna bas, vilket medför att även , i basen , övergår uppåt i triangulär form.

Anmärkningar[redigera | redigera wikitext]

  • Även om man utgår från en reell matris så kan matriserna och ha komplexa element.
    Exempel: rotationsmatrisen

    har endast komplexa egenvärden, och då har egenvärden på diagonalen så kommer i detta fall ha komplexa värden på diagonalen.
  • Om är en normal matris () så är matrisen diagonal med egenvärden på diagonalen. Därmed så kan Schurs sats ses som en utvidgning av spektralsatsen.
  • Om två matriser kommuterar () så kan de skrivas om med samma bas, dvs och med samma unitära matris .

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong, Kapitel 6, Brown University, 2004