Selmergrupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom aritmetisk geometri är en Selmergrupp, uppkallad efter Selmer (1951), en grupp som konstrueras från en isogeni av abelska varieteter. Selmergruppen av en abelsk varietet A i förhållande till isogenin f : A → B av abelska varieteter kan definieras med hjälp av Galoiskohomologin som

\mathrm{Sel}^{(f)}(A/K)=\bigcap_v\mathrm{ker}(H^1(G_K,\mathrm{ker}(f))\rightarrow H^1(G_{K_v},A_v[f])/\mathrm{im}(\kappa_v))

där Av[f] betecknar f-torsionen av Av och \kappa_v är den lokala Kummertransformationen B_v(K_v)/f(A_v(K_v))\rightarrow H^1(G_{K_v},A_v[f]). Notera att H^1(G_{K_v},A_v[f])/\mathrm{im}(\kappa_v) är isomorfisk till H^1(G_{K_v},A_v)[f]. Geometriskt har alla principiella homogena rum som uppstår från element av Selmergruppen Kv-rationella punkter för alla ställen v av K. Selmergruppen är ändlig. Av detta följer att delen av Tate–Sjafarevitjgruppen som annihileras av f är ändlig p.g.a. följande exakta följd

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0.

Selmergruppen i mitten av följden är ändlig och effektivt beräknelig. Av detta följer den svaga Mordell-Weilsatsen att dess delgupp B(K)/f(A(K)) är ändlig.

Ralph Greenberg har generaliserat Selmergrupper till mer allmänna p-adiska Galoisrepresentationer och p-adiska variationer av motiver i samband med Iwasawateori.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Selmer group, 12 juli 2014.