Selmergrupp

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom aritmetisk geometri är en Selmergrupp, uppkallad efter Selmer (1951), en grupp som konstrueras från en isogeni av abelska varieteter. Selmergruppen av en abelsk varietet A i förhållande till isogenin f : A → B av abelska varieteter kan definieras med hjälp av Galoiskohomologin som

där Av[f] betecknar f-torsionen av Av och är den lokala Kummertransformationen . Notera att är isomorfisk till . Geometriskt har alla principiella homogena rum som uppstår från element av Selmergruppen Kv-rationella punkter för alla ställen v av K. Selmergruppen är ändlig. Av detta följer att delen av Tate–Sjafarevitjgruppen som annihileras av f är ändlig p.g.a. följande exakta följd

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0.

Selmergruppen i mitten av följden är ändlig och effektivt beräknelig. Av detta följer den svaga Mordell-Weilsatsen att dess delgupp B(K)/f(A(K)) är ändlig.

Ralph Greenberg har generaliserat Selmergrupper till mer allmänna p-adiska Galoisrepresentationer och p-adiska variationer av motiver i samband med Iwasawateori.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Selmer group, 12 oktober 2012.