Skalärprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
I ett euklidiskt rum kan skalärprodukten ges den geometriska tolkningen som a:s projektion på b multiplicerad med längden av b.

Skalärprodukt, också kallad inre produkt, är inom vektoralgebran en operation på två vektorer a och b vars resultat är en skalär och som i ett euklidiskt rum kan definieras som

där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten kan tolkas som längden av a:s projektion på b multiplicerad med b:s längd.

Om skalärprodukten av två nollskilda vektorer a och b är noll måste cos(θ) vara noll, det vill säga vektorerna a och b är vinkelräta mot varandra.

Om vektorernas komponenter är kända i en ortonormerad bas kan skalärprodukten även skrivas som

Mer generellt gäller att

där A är en inverterbar, positivt definit n×n-matris och aT är transponatet av a, (a och b betraktas här som 1×n-matriser).

I mer abstrakta rum, där man inte lika självklart kan tala om längder och vinklar, definieras de senare ofta av skalärprodukten.

Märk särskilt att skalärprodukten är en skalär, ofta ett reellt tal, och inte en vektor – därav dess namn. Ibland används ordet "skalärmultiplikation" i betydelsen multiplikation av en vektor med en skalär, vilket innebär en förväxlingsrisk.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om a, b, och c är reella vektorer gäller

Se även[redigera | redigera wikitext]