Skalärprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
I ett euklidiskt rum kan skalärprodukten ges den geometriska tolkningen som a:s projektion på b multiplicerad med längden av b.

Skalärprodukt, också kallad inre produkt, är inom vektoralgebran en operation på två vektorer a och b vars resultat är en skalär och som i ett euklidiskt rum kan definieras som[1] (geometrisk definition)

där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten kan tolkas som längden av a:s projektion på b multiplicerad med b:s längd.

Om skalärprodukten av två nollskilda vektorer a och b är noll måste cos(θ) vara noll, det vill säga vektorerna a och b är vinkelräta mot varandra.

Om vektorernas komponenter är kända i en ortonormerad bas kan skalärprodukten även definieras som (algebraisk definition)

Mer generellt gäller att

där A är en inverterbar, positivt definit n×n-matris och aT är transponatet av a, (a och b betraktas här som 1×n-matriser).

I mer abstrakta rum, där man inte lika självklart kan tala om längder och vinklar, definieras de senare ofta av skalärprodukten.

Märk särskilt att skalärprodukten är en skalär, ofta ett reellt tal, och inte en vektor – därav dess namn. Ibland används ordet "skalärmultiplikation" i betydelsen multiplikation av en vektor med en skalär, vilket innebär en förväxlingsrisk.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om a, b, och c är reella vektorer gäller

  • Om a och b är vinkelräta mot varandra så är eftersom . Om skalärprodukten är noll och ingen av vektorerna är nollvekton är vinkeln mellan vektorerna således rät.

Geometrisk definition = algebraisk definition[redigera | redigera wikitext]

Om e1, ..., en är basvektorer i Rn kan vi skriva:

Vektorerna ei utgör en ortonormerad bas, vilket betyder att de har längden ett och är vinkelräta mot varandra. Sålunda, eftersom vektorerna har längden ett:

Och eftersom de bildar rät vinkel mot varandra om ij,

(Allmänt kan vi då säga att:

Där δij är kroneckerdeltat.)

Vidare, enligt den geometriska definitionen, kan vi för varje vektor ei och en vektor a, notera att

där ai är komponenten av vektorn a i samma riktning som ei.

Vi får ur den distributiva egenskapen hos den geometriska definitionen sålunda:

vilket är den algebraiska definitonen och således är definitionerna ekvivalenta.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.