Skattningsfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematisk statistik anger termen skattningsfunktion gradienten (vektorn av partiella derivator) av logaritmen av likelihood-funktionen.

Formellt sett, för en observation X med likelihood-funktionen L(\theta;X), ges skattningen V av:

V = \frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X) = \frac{1}{L(\theta;X)} \frac{\partial L(\theta;X)}{\partial\theta}.

V är en funktion av \theta (de parametrar som ska uppskattas) och X (observationerna).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Under vissa förhållanden är väntevärdet av V vid observationen x noll, givet \theta (\mathbb{E}(V|\theta)), lika med noll .

Om man skriver om likelihood-funktionen som en täthetsfunktion (L (θ, x) = f (x, θ)) får man att

\mathbb{E}(V|\theta) =  \int_{x=-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{\partial}{\partial\theta} \log f(x;\theta)
\right ) f(x; \theta) dx = \int_{x=-\infty}^{+\infty}
 \frac{\frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta}}{f(x; \theta)} f(x; \theta)dx

som, under vissa förhållanden, kan förenklas till:

\mathbb{E}(V|\theta) =
\int_{x=-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta} \, dx =
\frac{\partial}{\partial\theta} \int_{x=-\infty}^{+\infty}
 f(x; \theta) \, dx =
\frac{\partial}{\partial\theta}1 = 0.

Varians[redigera | redigera wikitext]

Variansen av skattningen kallas för Fisherinformationen, betecknat \mathcal I(\theta). Eftersom väntevärdet av skattningen är noll, ges variansen av skattningen av:


\mathcal{I}(\theta)
=
\mathbb{E}
\left\{\left.
 \left[
  \frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X)
 \right]^2
\right|\theta\right\}.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Noter och referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
  • Schervish, Mark J. (1995). Theory of Statistics. New York: Springer. sid. Section 2.3.1. ISBN 0387945466