Somos konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Somos konstant, uppkallad efter Michael Somos, en matematisk konstant som definieras som

\sigma = \sqrt {1 \sqrt {2 \sqrt{3 \cdots}}} = 
1^{1/2}\;2^{1/4}\; 3^{1/8} \cdots.\,

Detta kan lätt skrivas i den snabbare konvergerande formen

\sigma = \sigma^2/\sigma = 
\left(\frac{2}{1} \right)^{1/2}
\left(\frac{3}{2} \right)^{1/4}
\left(\frac{4}{3} \right)^{1/8}
\left(\frac{5}{4} \right)^{1/16}
\cdots.

Konstanten dyker upp då man undersöker tillväxten av sekvensen

g_0=1\, ; \, g_n = ng_{n-1}^2, \qquad n > 1, \,

vars första termer är 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, … (talföljd A052129 i OEIS). Man kan visa att sekvensen växer som[1]

g_n \sim \frac {\sigma^{2^n}}{n + 2 + O(\frac{1}{n})}.

Guillera och Sondow ger en representation med hjälp av derivatan av Lerchs transcendent:

\ln \sigma = \frac{-1}{2} 
\frac {\partial \Phi} {\partial s} 
\left( \frac{1}{2}, 0, 1 \right).

En snabbare konvergerande serie ges av

\ln \sigma = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} \ln (k+1).

Konstantens approximativa värde är

 \sigma = 1.661687949633594121296\dots\; (talföljd A112302 i OEIS).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Somos' quadratic recurrence constant, 27 december 2013.
  1. ^ Weisstein, Eric W., "Somos's Quadratic Recurrence Constant", MathWorld. (engelska)