Största gemensamma delare

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är den största gemensamma delaren (förkortat SGD) av två eller flera heltal vilka inte alla är noll det "största" heltal som delar alla talen. Största gemensamma delaren av heltalen a och b skrivs ofta SGD(a, b) eller i talteoretisk litteratur endast (a, b)

Enkel beräkningsmetod[redigera | redigera wikitext]

Här följer ett exempel på hur största gemensamma delare kan bestämmas för de båda talen 48 och 180. Talen primtalsfaktoriseras enligt:

48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Ett Venndiagram ritas där vart och ett av talens faktorer utgör en mängd. I mängdernas snitt återfinnes de faktorer som de båda talen delar, nämligen två tvåor och en trea:

Least common multiple.svg

Metoden kan även användas för att bestämma största gemensamma delare, som är produkten av elementen i Venndiagrammets snitt:

SGD(48,180)= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

Metoden kan även användas för att bestämma minsta gemensamma multipel, som beräknas genom att multiplicera alla talen i Venndiagramet:

Minsta gemensamma multipel = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 720

På samma vis är SGD(12,18) = 6 (eftersom 6 * 2 = 12 & 6 * 3 = 18), SGD(-4,14) = 2 (eftersom 2 * -2 = -4 & 2 * 7 = 14) och SGD(5,0) = 5 (eftersom 5 * 1 = 5 & 5 * 0 = 0).

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Största gemensamma delaren av 0 och 0 definieras vanligtvis att vara 0. (Visserligen är alla heltal gemensamma delare till 0 och 0, men av dessa räknas 0 som "störst i delbarhetsmening", därför att övriga heltal är äkta delare till 0.) Två tal kallas relativt prima om deras största gemensamma delare är 1. Till exempel är 9 och 28 relativt prima.

Användningsområde[redigera | redigera wikitext]

Den största gemensamma delaren är användbar för att skriva bråk i enklaste form. Till exempel

42/56 = 3/4

där vi har förkortat med 14, som är den största gemensamma delaren för 42 och 56.

Algoritmer för att beräkna den största gemensamma delaren[redigera | redigera wikitext]

Den största gemensamma delaren kan beräknas enligt metoden ovan genom att ta reda på primtalsfaktoriseringen av de två talen och multiplicera snittet av de båda mängderna. Detta sätt används dock inte i praktiken eftersom det är för tidskrävande. En mycket mer effektiv metod är Euklides algoritm.

Andra metoder[redigera | redigera wikitext]

Keith Slavin har bevisat att för udda a ≥ 1 är

\gcd(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a})

som är en funktion som även kan räknas för komplexa b. Wolfgang Schramm har visat att

\gcd(a,b)=\sum\limits_{k=1}^a \exp (2\pi ikb/a) \cdot \sum\limits_{d\left| a\right.} \frac{c_d (k)}{d}

där cd(k) är Ramanujans summa. Donald Knuth har bevisat följande:

\gcd(2^a-1, 2^b-1)=2^{\gcd(a,b)}-1

för alla icke-negativa heltal a och b, där a och b inte samtidigt noll. Mer allmänt är

\gcd(n^a-1,n^b-1)=n^{\gcd(a,b)}-1 \,

En användbar relation med Eulers fi-funktion är

 \gcd(a,b) = \sum_{k|a \; \hbox{och} \; k|b} \varphi(k).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje gemensam delare till a och b delar SGD(a, b)

Största gemensamma delaren till tre tal kan beräknas som SGD(a,b,c) = SGD(SGD(a,b),c) = SGD(a, SGD(b, c)).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.