Stieltjeskonstanter

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

Den nollte konstanten är känd som Eulers konstant.

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 00, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

Numeriska värden[redigera | redigera wikitext]

De första värdena är

n Ungefärligt värde av γn OEIS
0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633
2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279
3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280
4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281
5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282
6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141
7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167
8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206
9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853
10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854
100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning[redigera | redigera wikitext]

Stieltjeskonstanter uppfyller

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för , gavs av Matsuoka:

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

med , och om , så är

där

Upp till förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för .

Generaliserade Stieltjeskonstanter[redigera | redigera wikitext]

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Stieltjes constants, 17 januari 2014.