Stieltjeskonstanter

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna \gamma_n en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.

Den nollte konstanten \gamma_0 = \gamma = 0.577\dots är känd som Eulers konstant.

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

 \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left(\left(\sum_{k = 1}^m  \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}.

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 00, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

Numeriska värden[redigera | redigera wikitext]

De första värderna är

n Ungefärligt värde av γn OEIS
0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633
2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279
3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280
4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281
5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282
6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141
7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167
8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206
9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853
10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854
100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning[redigera | redigera wikitext]

Stieltjeskonstanter uppfyller

|\gamma_n| < \frac{4 (n - 1)!}{{\pi}^n,}

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för n \ge 10, gavs av Matsuoka:

|\gamma_n| < 0.0001 e^{n \log \log n}

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

2 \pi \exp(v \tan v) = n \frac{\cos(v)}{v}

med 0 < v < \pi/2, och om u = v \tan v, så är

\gamma_n \sim \frac{B}{\sqrt{n}} e^{nA} \cos(an+b)

där

A = \frac{1}{2} \log(u^2+v^2) - \frac{u}{u^2+v^2}
B = \frac{2 \sqrt{2\pi} \sqrt{u^2+v^2}}{[(u+1)^2+v^2]^{1/4}}
a = \tan^{-1}\left(\frac{v}{u}\right) + \frac{v}{u^2+v^2}
b = \tan^{-1}\left(\frac{v}{u}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{v}{u+1}\right).

Upp till n = 10^5 förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för n = 137.

Generaliserade Stieltjeskonstanter[redigera | redigera wikitext]

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter \gamma_k(a) som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

\zeta(s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(a) \; (s-1)^n.

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

\gamma_n(1)=\gamma_n.\;

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Stieltjes constants, 17 januari 2014.