Supremumnormen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Supremumnormen, även kallad Tjebysjovnormen eller informellt oändlighetsnormen, är inom matematisk analys en norm för funktioner. Normen tilldelar ett reellt positivt tal till en reell eller komplex funktion. Förenklat kan man säga att supremumnormen mäter "storleken" på en funktion.

Definition och användning[redigera | redigera wikitext]

Låt X vara en mängd och . Supremumnormen för är talet

.

Fast kallas supremumnormen är detta inte alltid en norm i . T. ex. om vi har

men normen måste vara ändlig. Så man får istället definiera mängden av alla begränsade funktioner:

då supremumnormen är en norm, dvs paret är ett normerat rum. Det här är ett resultat från absolutbeloppets egenskaper.

Man kan inducera en metrik från supremumnormen som mäter avståndet mellan två begränsade funktioner:

.

Så att en följd av funktioner, , konvergerar likformigt till en funktion om och endast om

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Element x i med , där k är en konstant.
  • Om , för , är . Supremum kan alltså här ersättas med maximum: för och är ett normerat rum.

Väsentlig supremumnorm[redigera | redigera wikitext]

Om vi har ett måttstruktur i X kan vi generalisera supremumnormen. Låt vara ett måttrum och

.

Då är väsentliga supremumnormen för

där är väsentligt supremum.

Normerade och seminormerade rum med väsentliga supremumnormen[redigera | redigera wikitext]

Några egenskaper för väsentliga supremumnormen är:

  • ,
  • och

för alla och . Detta ger att är ett (seminormerat rum.

Seminormen är inte en norm eftersom det finns funktioner som inte är nollfunktionen men som har en väsentligt supremumnorm som är noll, om exempelvis får man att

där är indikatorfunktionen för de naturliga talen. Resultatet ovan fås då men

.

Men man kan definiera en ekvivalensrelation i genom att

om och endast om

och definiera väsentliga supremumnormen för ekvivalensklasser

där är ekvivalensklassen med representant f:

Med denna struktur fås att är ett normerat rum.

En fördel med väsentliga supremumnormen är att man kan få med fler funktioner i sitt normerade rum, då det finns måttrum och funktioner som har men .

Till exempel, om får man att

eftersom men

eftersom när .

Följaktligen kan man generalisera . Låt

Så att

och är ett seminormerat rum. Man kan transformera till ett normerat rum med ekvivalensrelationen ovan.

Relation till andra normer[redigera | redigera wikitext]

Om f är en funktion så att och så gäller att

.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt vara större än .

Eftersom är detta mindre än

Eftersom är detta mindre än

när

För den omvända olikheten, definiera . Då är

när .

Detta gäller för alla .