Symmetrisk grupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med Sn. Sn har n! element. Endast för n ≤ 2 är Sn abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har Sn endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen An, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S4 har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen .

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.

Notation[redigera | redigera wikitext]

En permutation f av en ändlig mängd M kan noteras som en tabell, där första raden är en listning av M och andra raden består av bilderna av motsvarande element på första raden.

En annan notation är den så kallade cykliska notationen, där varje element skrivs som en produkt av cykler

där . Cykler av längd ett brukar utelämnas som underförstådda.

Exempel: .

Nedan ges en listning av alla element i i de båda notationerna.

()

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

Presentation[redigera | redigera wikitext]

En presentation av den symmetriska gruppen Sn ges av generatorerna σ1, σ2, ..., σn-1 och relationerna: