Tangentfyrhörning

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Exempel på en tangentfyrhörning

En tangentfyrhörning eller en omskriven fyrhörning är en fyrhörning i vilken en cirkel kan inskrivas, alltså en cirkel som invändigt tangerar alla fyra sidorna.[1] Medelpunkten hos denna cirkel ligger i skärningspunkten för bisektriserna till de fyra hörnvinklarna. Dessa bisektriser skär inte varandra i en punkt i alla fyrhörningar, utan endast i de fyrhörningar som kan ha en inskriven cirkel. Att bisektrisernas skär varandra är således ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en fyrhörning ska ha en inskriven cirkel.[2]

Exempel på tangentfyrhörningar är drake, romb och kvadrat. En fyrhörning är en tangentfyrhörning om och endast om dess konsekutiva sidor a, b, c och d uppfyller a + c = b + d (se figuren till höger), vilket kallas Pitots sats.[2]

De viktigaste storheterna hos en tangentfyrhörning uttrycks inte i sidornas längder utan i de fyra tangentlängderna.[3] Med tangentlängderna menas avstånden från de fyra hörnen till de punkter på sidorna där den inskrivna cirkeln tangerar sidorna. De fyra tangentlängderna som utgår ifrån hörnen A, B, C, D betecknas e, f, g, h respektive (se nedre figuren till höger). Då gäller formlerna nedan.

Area[redigera | redigera wikitext]

En tangentfyrhörning med tangentlängderna e, f, g, h har arean[4]

Inskrivna cirkelns radie[redigera | redigera wikitext]

Tangentlängderna och inskrivna cirkelns radie

Den i en tangentfyrhörning inskrivna cirkeln har en radie som ges av[4][5]:Lemma 2

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Vinklar[redigera | redigera wikitext]

Hörnvinklarna i en tangentfyrhörning ABCD kan uttryckas i tangentlängderna e, f, g, h som[3]:Theorem 8

Diagonaler[redigera | redigera wikitext]

Längderna på diagonalerna p = AC och q = BD i en tangentfyrhörning ABCD ges av[5]:Lemma 3

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Kevius, Bruno, Fyrhörning, Matematik minimum, [1], hämtat 2018-05-13
  2. ^ [a b] Andreescu, Titu och Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, sid. 64–68.
  3. ^ [a b] Josefsson, Martin (2010), ”Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral”, Forum Geometricorum 10: 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf .
  4. ^ [a b] Casey, John, A Treatise on Plane Trigonometry, Figgis, Dublin, 1888, sid. 188.
  5. ^ [a b] Hajja, Mowaffaq (2008), ”A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic”, Forum Geometricorum 8: 103–106, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf .