Thomaes funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Thomaes funktion på intervallet

Thomaes function, Riemannfunktionen eller i engelsktalande länder popcornfunktionen är en funktion som är kontinuerlig i alla irrationella punkter och diskontinuerlig i alla rationella.[1]

Funktionen definition är

, där och är heltal och bråket är förkortat så mycket som möjligt.

Kontinuitet i irrationella punkter[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett irrationellt tal och för ett heltal. Vi kan definiera

.

är alltså det kortaste avståndet till ett rationellt tal med nämnare högst . Då är

om .

Detta visar att är kontinuerlig i .

Diskontinuitet i rationella punkter[redigera | redigera wikitext]

Om finns det för varje ett (irrationellt) så att

men .

Detta visar att är diskontinuerlig i .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Gelbaum, Bernard R.; Olmsted John M. H. (2003[1964]) (på eng). Counterexamples in analysis. Mineola, NY: Dover Publications. Libris 9971146. ISBN 0-486-42875-3 (pbk.)