Björkström började sin seniorkarriär som utlånad till Gröndals IK säsongerna 2008 och 2009. Han fick göra allsvensk debut för Brommapojkarna den 18 oktober 2010 i en 3–0-vinst över Örebro SK.[3]
Den 4 november 2014 värvades Björkström av Djurgårdens IF, där han skrev på ett treårskontrakt.[4]
Efter ett lån till Östersunds FK 2017 blev Björkström klar för IK Sirius 2018.