Trigonometriska ettan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln:

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Med rätvinkliga trianglar[redigera | redigera wikitext]

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel med närliggande sidor med längd och hypotenusan :

Av detta följer

Den sista likheten följer av sambandet enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och radianer. För att bevisa satsen för de vinklar som uppfyller (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

Av detta följer

Vilket visar att sambandet gäller för . Vi vet att:

Av vilket följer

Vilket visar att sambandet gäller för intervallet och därmed för alla .

Med enhetscirkel[redigera | redigera wikitext]

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där är vinkeln):

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

Ur detta följer att

Se även[redigera | redigera wikitext]