Trigonometriska ettan

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):

Sambanden mellan kvadraterna på sinus, cosinus, tangens och cotangens för en vinkel[redigera | redigera wikitext]

Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:

och
.

vilka genom division med ger (efter lite omstrukturering[1]):

och
.

medan division med på samma sätt ger:

och
.

Och om vi i stället dividerar och med varandra får vi:

och omvänt

För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Med rätvinkliga trianglar[redigera | redigera wikitext]

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel med motstående katet , närliggande katet och hypotenusan :

Av detta följer

Den sista likheten följer av sambandet enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och radianer. För att bevisa satsen för de vinklar som uppfyller (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

Av detta följer

Vilket visar att sambandet gäller för . Vi vet att:

Av vilket följer

Vilket visar att sambandet gäller för intervallet och därmed för alla .

Med enhetscirkel[redigera | redigera wikitext]

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där är vinkeln):

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

Ur detta följer att

Referenser och noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Sinusformeln kan visas analogt men erhålls även enkelt från det vi nyss visat med hjälp av trigonometriska ettan: .

Se även[redigera | redigera wikitext]