Ultraprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna .

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara strukturer av en fix signatur, och ett ultrafilter på I. Låt vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation genom omm . Låt vara kvoten av med avseende på . Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

omm

där . Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna med avseende på ultrafiltret .

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Ultraprodukten av en mängd strukturer med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i är isomorf med
  • Ultraprodukten av en mängd kroppar där har karakteristik , det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
  • Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.