Väsentligt supremum och väsentligt infimum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori.

Bakgrund[redigera | redigera wikitext]

Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att nollmängder inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen är definierad som

så är

men för alla

.

Det vill säga att det finns bara en punkt där . Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för f är 100. Man får ingen informationen från talet 100. nästan överallt i , så att det "väsentliga" supremumet för f borde vara 1. Så man definierar väsentliga supremumet för f till 1. På likartat sätt definieras väsentligt infimum.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett måttrum och en mätbar funktion .

Väsentligt supremum för f är det minsta reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller är en nollmängd:

Väsentligt infimum för f är det största reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller är en nollmängd:

Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig").

Koppling till vanligt supremum och infimum[redigera | redigera wikitext]

Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att supremum för mätbara funktionen är det minsta reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller är tom:

och infimum för f är det största reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller är tom:

Därför

eftersom

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Väsentligt supremum har många tillämpningar inom måtteori och funktionalanalys.

Norm[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Supremumnormen.

Med väsentligt supremum kan man definiera en norm som kallas väsentlig supremumnorm.

-rum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Lp-rum.

Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet väsentligt begränsad funktion, dvs rummet .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.