Väsentligt supremum och väsentligt infimum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori.

Bakgrund[redigera | redigera wikitext]

Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att nollmängder inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen f : \R \rightarrow \R är definierad som

f(x)= \begin{cases} e^{-x^2}, & \mbox{om }  x\neq 0  \\ 
                            100,& \mbox{om }  x = 0,
 \end{cases}

så är

\sup f = 100

men för alla x \neq 0\,

f(x) \leq 1\,.

Det vill säga att det finns bara en punkt där f(x) >> 1\,. Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för f är 100. Man får ingen informationen från talet 100. f(x) \leq 1\, nästan överallt i \R, så att det "väsentliga" supremumet för f borde vara 1. Så man definierar väsentliga supremumet för f till 1. På likartat sätt definieras väsentligt infimum.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum och en mätbar funktion f : X \rightarrow \overline{\R}.

Väsentligt supremum för f är det minsta reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller  f(x) > r är en nollmängd:

\operatorname{ess} \sup f := \inf\{r \in \R : \mu(\{ x \in X : f(x) > r \}) = 0 \}.

Väsentligt infimum för f är det största reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller  f(x) < r är en nollmängd:

\operatorname{ess} \inf f := \sup\{r \in \R : \mu(\{ x \in X : f(x) < r \}) = 0 \}.

Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig").

Koppling till vanligt supremum och infimum[redigera | redigera wikitext]

Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att supremum för mätbara funktionen  f: X \to \overline{\R} är det minsta reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller  f(x) > r \, är tom:

\sup f = \inf\{r \in \R : \{ x \in X : f(x) > r \} = \varnothing \}

och infimum för f är det största reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller  f(x) < r \, är tom:

\inf f = \sup\{r \in \R : \{ x \in X : f(x) < r \} = \varnothing \}.

Därför

\inf f \leq \operatorname{ess} \inf f \leq \operatorname{ess} \sup f \leq \sup f,\,

eftersom \mu(\varnothing) = 0.\,

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Väsentligt supremum har många tillämpningar inom måtteori och funktionalanalys.

Norm[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Supremumnormen.

Med väsentligt supremum kan man definiera en norm som kallas väsentlig supremumnorm.

L^\infty\,-rum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Lp-rum.

Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet väsentligt begränsad funktion, dvs rummet L^\infty.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.