Variationsmetoden (kvantmekanik)

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Kvantmekanik

Teori:

Tolkning:

Persongalleri
Einstein | Schrödinger
Heisenberg | Dirac | Fermi
Bohr | Planck | Born

Variationsmetoden är en approximationsmetod inom kvantmekaniken för att finna kvanttillstånd, i synnerhet grundtillstånd som bygger på variationsprincipen.[1][2] Genom att ansätta en försöksvågfunktion och variera denna tills man hittar den bästa approximativa lösningen som minimerar energin.

Exempel på approximationsmetoder som bygger på variationsmetoden är Hartree-metoden, Hartree–Fock-metoden, täthetsfunktionalteori[3] och Ritz-metoden.

Beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Metoden bygger på variationsprincipen, d. v. s. att för ett givet system, med en given hamiltonian H, har grundtillståndet E0 alltid lägst energi

Strategin för att hitta approximativa lösningar till Schrödingerekvationen är därmed att ansätta en försöksvågfunktion som beror på en eller flera parametrar och sedan minimera energin med avseende på dessa med hjälp av variationskalkyl. Det erhållna värdet blir den bästa approximationen som kan erhållas givet formen av försöksvågfunktionen.

Energin fås direkt från Schrödingerekvationen

vilket kan multipliceras med från vänster, vilket ger

eftersom E är en skalär och kan skrivas framför operatorn. Detta ger med en enkel omskrivning

vilket är uttrycket som måste beräknas och minimeras.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Genom att ansätta en försöksvågfunktion till väteatomen av formen

kan man uppskatta energin genom att beräkna

där hamiltonianen är känd

Vilket med den ansatta försöksvågfunktionen ger

med hamiltonianen i sfäriska koordinater och verkande på en av vågfunktionerna i uttrycket.

Minimering med avseende på parameters ger nu

vilket med insättning i uttrycket för energin ovan ger

vilket är större än det kända exakta värdet för väteatomens grundtillståndsenergi . Detta beror på att försöksvågfunktionen inte hade samma form som den exakta vågfunktionen.

Ansätts istället en försöksvågfunktion som är av rätt form

fås genom samma räkning istället värdet .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Griffiths, D. J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1 
  2. ^ Sakurai, J. J. (1994). Tuan, San Fu. red. Modern Quantum Mechanics (Revised). Addison–Wesley. ISBN 0-201-53929-2 
  3. ^ Kohn, W.; Sham, L. J. (1965-11-15). ”Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects”. Physical Review 140 (4A): sid. –1133-A1138. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.A1133.