Vektor

Matematiska begrepp
Tal Mängd Variabel Ekvation Funktion Operator Vektor Linjärt rum

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Inom matematiken generaliseras vektorer till att vara element i ett vektorrum av godtycklig dimension. En sådan generaliserad vektor kan ha en norm som anknyter till längdbegreppet. För vektorrummet kan en inre produkt vara definierad vilken kan sägas mäta vinklar mellan vektorerna. Med denna definition kan många typer av objekt anses vara vektorer. Det enda kravet är att de följer de viktigaste av de räkneregler som gäller för rumsvektorer.

Vektorbeteckningar

Ett vektornamn skrivs vanligen med fet stil, till exempel som

$\mathbf {a}$

I vissa fall kan även notationen

${\overrightarrow {AB}}$

förekomma där A är vektorns startpunkt och B dess ändpunkt.

En annan vanlig vektornotation är

${\vec {a}}$

där ett streck eller en pil placerats ovanför namnet.

Representation av vektorer

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3)

En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer i ett n-dimensionellt rum, Rⁿ, kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

$\mathbf {a} =(a_{1},\ a_{2},\dots ,\ a_{n})$

Talen i listan kallas också vektorns komponenter. I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

$\mathbf {a} =(2,\ 3)$

I ℝ³ identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

$\mathbf {a} =(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$

eller

$\mathbf {a} =(a_{x},\ a_{y},\ a_{z})$

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}$

$\mathbf {a} =[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]$

Ett annat sätt att representera vektorer är att introducera standardbasvektorer, vilket i det tredimensionella fallet kräver tre vektorer. Standardbasvektorerna har längden 1 och riktningar som sammanfaller med riktningarna för koordinatsystemets tre axlar:

${\mathbf {e} }_{1}=(1,\ 0,\ 0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0\ ,1\ ,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,\ 0,\ 1)$

Med hjälp av standardbasvektorerna kan varje vektor uttryckas som

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

I elementära läroböcker i fysik betecknas ofta basvektorerna med $\mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k}$ (eller $\mathbf {\hat {x}} ,\ \mathbf {\hat {y}} ,\ \mathbf {\hat {z}}$, där ^ vanligtvis betecknar enhetsvektorn). I detta fall betecknas vektorkoordinaterna enligt a_x, a_y, a_z, och a_x, a_y, a_z. Således,

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }$

Identitet mellan vektorer

Två vektorer är identiska om vektorerna har samma storlek och riktning. De två vektorerna

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

och

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

är identiska om och endast om

$a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}$

Addition och subtraktion av vektorer

Summan av två vektorer

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$

är

$\ \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$

Den resulterande vektorns komponenter är de komponentvisa summorna av vektorernas komponenter vilket kan generaliseras till alla dimensioner.

Differensen mellan a och b är

$\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3})$

Subtraktionen a - b kan tolkas som additionen a + -b.

Skalär multiplikation

Skalär multiplikation av en vektor med en faktor 2 förlänger vektorn

Om en vektor multipliceras med ett reellt tal r (en skalär) ändras vektorns längd (skalning av vektorn):

$\ r\mathbf {a} =r(a_{x},a_{y},a_{z})=(ra_{x},ra_{y},ra_{z})$

Om r är negativ kastas vektorns riktning om.

Längd

Längden eller magnituden eller normen av vektorn a betecknas ||a||.

Längden av vektorn a kan i ett vektorrum med euklidisk norm beräknas med Pytagoras sats enligt

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}$

då koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra i detta vektorrum.

Normen är även lika med kvadratroten ur skalärprodukten (se nedan) av vektorn med sig själv:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

Vektorer med längden 1 kallas enhetsvektorer och nollvektorn har längden noll. Normalisering av en vektor a = [a₁, a₂, a₃], sker genom att vektorn multipliceras med det reciproka värdet av vektorns längd, ||a||:

$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}$

Skalärprodukt

Skalärprodukten av två vektorer a och b (ibland kallad inre produkt) betecknas a ∙ b och dess resultat är en skalär (ett reellt tal, här en längd multiplicerad med en längd) och är definierad som

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta$

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a och b. Geometriskt innebär detta att a och b kan antas dragna från en gemensam startpunkt och längden av projektionen av a på b är multiplicerad med b:s längd.

Skalärprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem definieras som summan av de komponentvisa produkterna enligt

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}$

Skalär trippelprodukt

Skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av en vektor och kryssprodukten (se nedan) av två andra vektorer:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

Trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen av en parallellipiped som spänns upp av de tre vektorerna.

Trippelprodukten kan beräknas enligt

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

Om vektorerna i kryssprodukten byter plats negeras trippelprodukten:

$\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$

Den skalära trippelprodukten kan också tolkas som determinanten till en 3 × 3 matris som har tre vektorer som rader eller kolumner (transponering av en matris ändrar inte determinantens värde):

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}$

Kryssprodukt

Kryssproduktens magnitud är lika med arean av parallellogrammen som spänns upp av a och b. n är normalvektor till både a och b

Högerhandsregeln för en kryssprodukt.

Kryssprodukten (också kallad vektorprodukt eller yttre produkt) är bara meningsfull i tre eller sju dimensioner. Kryssprodukten skiljer sig från skalärprodukten genom att resultatet är en vektor. Kryssprodukten, betecknad a × b, är en vektor vinkelrät mot både a och b och definieras som

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n}$

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a och b, och n är en enhetsvektor vinkelrät mot både a och b som tillsammans med dessa bildar ett högerorienterat system.

Längden av a × b kan tolkas som arean av en parallellogram som har a och b som sidor.

Kryssprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem också skrivas som

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

Kryssprodukten är antikommutativ:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$

Den är distributiv för addition:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

Kryssprodukten är relaterad till skalärprodukten enligt

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}$

Vektoriell trippelprodukt

Den vektoriella trippelprodukten är kryssprodukten av en vektor och kryssprodukten av två andra vektorer:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \,(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} \,(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$.

Då kryssprodukten är antikommutativ kan detta också skrivas

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\,\mathbf {b}$

En annan användbar formulering är

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

Vektorprojektion

Projektion av a på b (a₁). När 90° < θ ≤ 180°, har a₁ en motsatt riktning med avseende på b

Projektionen av en vektor a på en vektor b (en vektorkomponent i b:s riktning) är den ortogonala projektionen av a på en rät linje parallell med b och definieras som

$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$

där $a_{1}$ är en skalär, kallad den skalära projektionen av a på b och b̂ är enhetsvektorn i b:s riktning. Den skalära projektionen definieras i sin tur som

$a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {a} \cdot {\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}$

där operatorn · betecknar skalärprodukt, |a| är den euklidiska normen av a och θ är vinkeln mellan a och b. Den skalära projektionen har samma längd som vektorprojektionen.

Vektorkomponenten a₂ av a vinkelrät mot b är

$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.$

När vinkeln θ är okänd kan cosinus θ beräknas med hjälp av a och b och definitionen av skalärprodukt:

${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta$

Med hjälp av denna egenskap blir definitionen av den skalära projektionen

$a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\,$

På liknande sätt blir definitionen a:s vektorprojektion på b

$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},$

vilket är ekvivalent med endera

$\mathbf {a} _{1}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} ,$

eller

$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }$

Exempel

Avståndet PQ mellan två linjer kan bestämmas genom en projektion av $\mathbf {v}$ på linjernas normalvektor $\mathbf {n}$. Linjerna ligger i två parallella plan som är bestämda av normalvektorn $\mathbf {n}$ och av punkterna P och Q som ligger i respektive plan

Bestäm avståndet mellan två linjer i R³ givna i parameterformerna

$(1,\ 1,\ 1)+t(1,\ 2,\ 1)$

$(1,\ 3,\ 4)+t(2,\ 2,\ 0)$

där riktningsvektorerna för linjerna är

$\mathbf {u} _{1}=(1,\ 2,\ 1)$

$\mathbf {u} _{2}=(2,\ 2,\ 0)$

Kortaste avståndet representeras av en sträcka d = PQ som är ortogonal mot linjerna. Vektorn $\mathbf {n} =\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}$ är linjernas normalvektor med samma riktning som sträckan PQ. En vektor $\mathbf {v}$ för linjen mellan linjernas fixa punkter är

$\mathbf {v} =(1,\ 3,\ 4)-(1,\ 1,\ 1)=(0,\ 2,\ 3)$

Avståndet d mellan linjerna är projektionen av $\mathbf {v}$ på $\mathbf {n}$:

$d=|\mathbf {v} \cdot {\cfrac {\mathbf {n} }{|\mathbf {n} |}}|={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}={\cfrac {\sqrt {3}}{3}}$

Vektorer i ℝ² och komplexa tal

Komplexa tal kan ses som ett fall av vektorer i ℝ². Ett komplext tal har en realdel och en imaginärdel som kan representeras som komponenter i en vektor och som även kan ritas som en vektorpil i det komplexa talplanet. Addition, subtraktion, skalning och längdberäkning utförs som för rumsliga vektorer i ℝ². Komplexa tal medger dessutom vanlig multiplikation och division.

En annan förbindelse mellan komplexa tal och vektorer är vektorer vars komponenter är komplexa tal (komplexvärda vektorer).

Vektorfält

Ett vektorfält är en tilldelning av en vektor till varje punkt i en delmängd av rummet.

• 
  En del av vektorfältet (sin y, sin x)
• 
  Ett vektorfält på en sfär
• 
  Vektorfält runt ett flygplan, visualiserat med bubblor

Exempel på vektorfält:

• Gradientfält
• Divergensfält
• Rotationsfält
• Skalärpotential, gradientens invers

Se även

• Normalvektor
• Enhetsvektor
• Ortsvektor
• Rumsvektor
• Linjärt rum (vektorrum)
• Pseudovektor (axiell vektor)
• Kovariant vektor
• Kontravariant vektor
• Vektoranalys
• Kovarians och kontravarians (vektorer)

Källor

• Folke Eriksson, Flerdimensionell Analys, Studentlitteratur Lund 1971

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Vektor.
  Bilder & media

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.