Weibullfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Weibullfördelningen för olika formparametrar.

Weibullfördelningen är inom matematisk statistik en kontinuerlig sannolikhetsfördelning.

Täthetsfunktionen, frekvensfunktionen, är

Den kumulativa fördelningsfunktionen är

Fördelningen är definierad endast för ≥ 0.

Parametrar:

α är en skalningsparameter för x-variabeln
β är en "skevhetsparameter" eller "formparameter".
Ibland inför man en tredje parameter genom substitutionen y = x + γ. Den parametern (lägesparametern) frigör funktionen från begynnelsepunkten x = 0. Den tredje parametern ger även en ökad flexibilitet vid anpassning av funktionen till experimentella data.

För formparametern kan följande specialfall för täthetsfördelningen nämnas:

β ≈ 3 - 3,5: fördelningen är approximativt symmetrisk och påminner om normalfördelningen.
β = 1: täthetsfördelningen är identisk med exponentialfördelningen.
β < 3: fördelningen är skev åt vänster.
β > 3,5: fördelningen är skev åt höger.
β = 2 fördelningen är en Rayleighfördelning.

Weibullfördelningen har stor ingenjörsteknisk användning för studium av livslängd och/eller hållfasthet hos tekniska system, där x är tiden/belastningen, och observerade haverier utgör statistiska observationer av en population tekniska enheter under drift. Exempelvis kullager, vilket var Waloddi Weibulls studieobjekt vid slutet av 1930-talet.

Om en weibullfördelning anpassas till observerade gångtider till driftstopp hos en komponent kan den funna formparametern indikera fysikaliska samband:

β = 1: driftstoppen är exponentialfördelade och inträffar slumpmässigt, vilket kan tolkas som att sannolikheten för stopp är oberoende av den ackumulerade gångtiden.
β < 1: sannolikheten för driftstopp är högst närmaste tiden efter driftsättningen; man talar om inkörningsfel eller "barnsjukdomar".
β ≈ 3: först efter en viss utslitningstid observeras en större serie (ungefär) normalfördelade driftstopp. Den kunskapen kan utnyttjas för att schemalägga förebyggande underhåll.

Används ofta för att beskriva keramiska materials variation i hållfasthet.

Vidare läsning[redigera | redigera wikitext]

  • Weibull, Waloddi: A statistical theory of the strength of materials, (1939) Ingeniörsvetenskapsakademien Stockholm, rapport 151, ISSN 0368-069X

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.