Weil–Châteletgrupp

Inom aritmetisk geometri är Weil–Châteletgruppen eller WC-gruppen av en algebraisk grupp, såsom en abelsk varietet A definierad över en kropp K, den abelska gruppen av principiella homogena rum för A, definierad över K. Tate (1958) uppkallade den efter François Châtelet (1946), som introducerade den för elliptiska kurvor, och Weil (1955), som introducerade den för mer allmänna grupper. Den spelar en grundläggande roll i aritmetiken av abelska varieteter, speciellt för elliptiska kurvor, p.g.a. dess samband med oändlig nedstigning.

Den kan även definieras direkt Galoiskohomologin som H¹(G_K,A), där G_K är den absoluta Galoisgruppen av K. Den är av speciellt intresse för lokala och globala kroppar, såsom algebraiska talkroppar. Om K är en ändlig kropp, bevisade Schmidt (1931) att Weil–Châteletgruppen är trivial för alla elliptiska kurvor, och Lang (1956) att den är trivial för alla algebraiska grupper.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weil–Châtelet group, 21 november 2014.

Cassels, John William Scott (1962), ”Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115
Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, "24", Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41517-0, http://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C
Châtelet, François (1946), ”Méthode galoisienne et courbes de genre un”, Annales de L'Université de Lyon Sect. A. (3) 9: 40–49
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, "201", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
Greenberg, Ralph (1994), ”Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives”, i Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Weil-Châtelet group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Lang, Serge (1956), ”Algebraic groups over finite fields”, American Journal of Mathematics 78: 555–563, doi:10.2307/2372673, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372673
Lang, Serge; Tate, John (1958), ”Principal homogeneous spaces over abelian varieties”, American Journal of Mathematics 80: 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372778
Schmidt, Friedrich Karl (1931), ”Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p”, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) 33: 1–32, doi:10.1007/BF01174341, ISSN 0025-5874, http://dx.doi.org/10.1007/BF01174341
Shafarevich, I. R. (1959), ”The group of principal homogeneous algebraic manifolds” (på ryska), Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, ISSN 0002-3264
Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, "13", Paris: Secrétariat Mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0
Weil, André (1955), ”On algebraic groups and homogeneous spaces”, American Journal of Mathematics 77: 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372637