Wishartfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom statistiken är Wishartfördelningen en generalisering till flera dimensioner av chitvåfördelningen eller till gammafördelningen då det är fråga om icke-heltal i frihetsgrader. Metoden är uppkallad efter John Wishart som tog fram den och först använde sig av den år 1928.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Antag att X är en -matris, där varje rad är oberoende av varandra med ett p-variatvärde med medelvärdet 0:

Wishartfördelningen är då den sannolikhetsfördelningen av -matrisen i den slumpmässiga matrisen , även känd som spridningsmatrisen. Sannolikhetsfördelningen för S visas genom formeln

Det positiva heltalet n är antalet frihetsgrader i matrisen, detta visas som W(V, p, n). Då n≥p är S inverterbar med sannolikhet 1, antaget att V är inverterbar.

Förekomster[redigera | redigera wikitext]

Wishartfördelningen kan ses som fördelningen av delarna till en kovariantmatris som i sig är en del av en multivariant normal fördelning. Den förekommer ofta i ratio-test inom den multivarianta statistiska analysen och även i teorin om slumpmässiga matriser.

Metoden används också vid trådlös kommunikation då den spelar stor roll för att analysera digitala signaler för MIMO-kanaler.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Log-förväntan[redigera | redigera wikitext]

Utgå från följande formel:

där är digammafunktionen. Denna funktion som inkluderar Wishartfördelningen hittas då ett bayesiskt nätverk tas fram.

Entropi[redigera | redigera wikitext]

Inom entropin, som är ett begrepp inom informationsteorin, har följande formel av fördelningen:

där är en normaliserande konstant i fördelningen:

Detta visas i följande uträkning:

Karakteristisk funktion[redigera | redigera wikitext]

Wishartfördelningens karakteristiska funktion är

Med andra ord

där E visar vad som förväntas.

Sats[redigera | redigera wikitext]

Om en pxp slumpmässig matris X har en Wishartfördelning med m frihetsgrader och variansmatrisen V, d.v.s X≈Wp(V,m), och C är en qxp-matris med rank q, i så fall kan de skrivas som

.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Wishart, J. (1928). "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population". Biometrika 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02.JSTOR 2331939.
  • Zanella, A.; Chiani, M.; Win, M.Z. (April 2009). "On the marginal distribution of the eigenvalues of wishart matrices". IEEE Transactions on Communications 57 (4): 1050–1060.doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143.
  • C.M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer 2006, p. 693.
  • Anderson, T. W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 259. ISBN 0-471-36091-0.
  • Rao, C. R., Linear statistical inference and its applications, Wiley 1965, p. 535
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.