Z-transform

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Z-transformen används inom matematik och signalbehandling för att konvertera tidsdiskreta signaler (en sekvens av reella eller komplexa tal) till en komplexvärd representation i frekvensdomänen. Z-tranformen är nära besläktad med fouriertransformen.

Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av Laplace-transformen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Z-transformen av en signal är funktionen och definieras som

där är ett heltal och är ett komplext tal.

Om skall konverteras endast för icke-negativa värden av n, kan Z-transformens definition skrivas

Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen och den förra dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga om signalen är kausal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Linearitet. Z-transformen av en linjärkombination av två signaler är lika med linjärkombinationen av de två individuella Z-transformerna:
  • Tidsförskjutning av signalen med steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen med .
  • Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.
  • Derivering.

Den inversa Z-transformen kan beräknas som

där är en sluten kurva kring origo som ligger innanför :s konvergensradie.

Den diskreta fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen med .

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen

där a1, ..., al, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till

som man sedan kan bryta ut X ur:

Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.

Se även[redigera | redigera wikitext]