Zermelo–Fraenkels mängdteori

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Zermelo-Fraenkels mängdteori)
Hoppa till: navigering, sök

Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet (förkortat ZFC) är ett axiomatiskt system för mängder, formaliserat i första ordningens logik med hjälp av ett språk som består av en icke-logisk symbol som betecknar elementrelationen, . ZFC betraktas allmänt som en adekvat axiomatisk grund för i stort sett all matematik.

Två intressanta delteorier till ZFC är ZF och Z.

Zermelos mängdteori (Z)[redigera | redigera wikitext]

Följande axiom ingår i Z:

  • 1. Extensionalitet.

Enligt axiomet definieras en mängd av sina element. Två mängder som har exakt samma element är identiska.

  • 2. Separation. (Alternativt delmängdsaxiomet, (begränsade) abstraktionsprincipen.)

Detta axiomschema (det vill säga, ett specifikt axiom för varje i vilken y inte förekommer fritt) innebär att givet en mängd y kan en delmängd till y bildas, som består av alla objekt som uppfyller egenskapen som beskrivs av .

  • 3. Union.

Givet en mängd z med elementen y, så finns en mängd u som innehåller alla element ur alla y.

  • 4. Par.

Givet två mängder x och y, kan en mängd z bildas, som innehåller precis x och y.

  • 5. Potensmängd.

Axiomet innebär att klassen av alla delmängder till en mängd är en mängd. Notera att det formellt inte finns tillgång till delmängdsrelationen, men den kan lätt definieras i termer av .

  • 6. Regularitet.

Varje mängd har ett -minimalt, det vill säga, ett element som inte har något element gemensamt med den ursprungliga mängden. Notera att betecknar den tomma mängden.

  • 7. Oändlighet.

Det finns en oändlig mängd. S(y) betecknar successorn av y, som definieras enligt

Zermelo-Fraenkels mängdteori (ZF)[redigera | redigera wikitext]

I ZF ingår axiom 1-3, 5-7 samt följande axiom.

  • 8. Substitution.

Bilden av en mängd under en funktionell relation är en mängd.

Substitionsaxiomet implicerar paraxiomet, varför detta utelämnas ur ZF.

Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet (ZFC)[redigera | redigera wikitext]

För att kunna formulera urvalsaxiomet (ofta förkortat AC, från engelskans "Axiom of Choice"), som är det axiom som läggs till ZF för att få ZFC, krävs en definition.

Definition: Antag att x är en mängd av icke-tomma mängder. En urvalsfunktion på x är en funktion f med domän x sådan att för alla . f plockar alltså ut precis ett objekt ur varje element i x.

9. Urval.

Varje mängd av icke-tomma mängder har en urvalsfunktion.

Det finns en uppsjö av ekvivalenta formuleringar av urvalsaxiomet, till exempel påståendet att alla mängder kan välordnas.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]