Borel–Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.
Om
är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742cbdc32b55c30734e967c9bba12a18b7c23a74)
Beteckningen
står för sannolikheten att händelsen
skall inträffa.
Om
är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98163b146efcc10eae976e69ea1eafa7b4a26cf)
En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om
är ett måttrum och
är en följd av element i sigma-algebran
så gäller
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3f705078b59fd6419ace59deb3321c4cc1680d)
måttet
behöver inte vara ändligt.
Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmata[redigera | redigera wikitext]
Scenariot att oändligt många av händelserna
skall inträffa kan skrivas
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left(\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)} _{=B_{n}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ce0b5ff433e7d8d354b9b1ad4216d799606ca1)
Händelserna
är mindre och mindre delar av varandra:
![{\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq \cdots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9b577866b36bafdcf5451308ddab9d3e5e91f9)
detta innebär dels att snittet av de
stycken första händelserna är samma sak som händelsen
:
![{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{N}B_{n}=B_{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40199804a40c8a82494cbd5086bc47462cfe369c)
och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:
![{\displaystyle P(B_{1})\geq P(B_{2})\geq P(B_{3})\geq \cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a52697f94005b1dae9673f991d4e13f56a4bca4)
Villkoret
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4139455af5c020d250c5ce7cf1b3bf2e1fbd0d)
att summan av sannolikheterna för händelserna
är ändlig innebär att sannolikheterna
blir hur små som helst ju större talet N är:
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12c8b7bde039f04f2371eb8cd4905aa94e3b873)
Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att
![{\displaystyle P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb6cf221ad77581da1485a7069ad835f954d61f)
Eftersom händelserna
är delar av varandra vet vi att
![{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}=\lim _{N\to \infty }B_{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef577fa9019848f807eabdb8bf1a66ecf8717e23)
Därför kan vi säga att
![{\displaystyle P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb75076c80878e1da22c0b69abfd762800498fa6)
Koppling till konvergens av stokastiska variabler[redigera | redigera wikitext]
En följd av stokastiska variabler
konvergerar mot den stokastiska variabeln
om 'avståndet'
avtar mot noll då index
växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)
Låt
vara händelsen att 'avståndet' mellan
och
är större än talet
:
![{\displaystyle A_{n}=\left\{\omega \in \Omega :\vert X_{n}(\omega )-X(\omega )\vert \geq 1/n\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2d9105f8d4ea0adbd683f7869f7af104bc68a7)
Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att
så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index
sådant att:
![{\displaystyle \vert X_{n}-X\vert <1/n,\quad n>N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703a507b1d633b1ebec0cbd944473c3bb56fbd89)
Det går därför att få 'avståndet' mellan
och
hur litet som helst, så länge som man väljer index
tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden
mot
.