Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.
Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):
.
Om man löser ut f'(x) får man:
.
På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen
![{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb364411a63c180f12b9cbdf77fbf6f9c1892cb)
och genom att sätta ihop de två formlerna får man
.
Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:
![{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c6ace948c0e135df1084913f8ea257e556aca9)
Som exempel, betrakta Poissonekvationen
på en kvadratisk domän
Om Laplaceoperatorn
utvecklas fås
![{\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41aa669e45b371cbf93efae0afc08855d21dc317)
En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med
![{\displaystyle -\left({\frac {u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{(\Delta y)^{2}}}\right)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ecf8912bb4668fe355cb6b42536de4ca3198a2)
där j och k löper över en finit uppdelning av domänen
.
Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s
. Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till
![{\displaystyle u_{j,k}=\left(h^{2}f+u_{j+1,k}+u_{j-1,k}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}\right)/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e4e5be5a192f960fd98410279c760046fb43e)
Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.
- Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1